Разработка урока по алгебре Решение тригонометрических уравнений вида a*sin(x) + b*cos(x) = c в 10 классе.

Содержание
  1. Методы решения тригонометрических уравнений –
  2. Методы решения тригонометрических уравнений
  3. 1. Алгебраический метод. 
  4. 2. Разложение на множители. 
  5. 4. Переход к половинному углу.
  6. 5. Введение вспомогательного угла.
  7. 6. Преобразование произведения в сумму
  8. 7. Универсальная подстановка.
  9. Алгебра – 10 класс. Тригонометрические уравнения
  10. Что такое тригонометрические уравнения?
  11. Простейшие тригонометрические уравнения имеют вид: Т(kx+m)=a, T- какая либо тригонометрическая функция
  12. Ещё примеры тригонометрических уравнений
  13. Два основных метода решения
  14. Пример решения уравнения
  15. Однородные тригонометрические уравнения
  16. Однородные тригонометрические уравнения второй степени
  17. Решить пример №:3
  18. Решить пример №:4
  19. Решить пример №:5
  20. Задачи для самостоятельного решения
  21. Геометрия. Урок 1. Тригонометрия
  22. Тригонометрия в прямоугольном треугольнике
  23. Тригонометрия: Тригонометрический круг
  24. Основное тригонометрическое тождество
  25. Тригонометрия: Таблица значений тригонометрических функций
  26. Тригонометрия: градусы и радианы
  27. Тригонометрия: Формулы приведения
  28. Тригонометрия: Теорема синусов
  29. Тригонометрия: Расширенная теорема синусов
  30. Тригонометрия: Теорема косинусов
  31. Тригонометрия: Тригонометрические уравнения
  32. Примеры решений заданий из ОГЭ
  33. Простейшие тригонометрические уравнения
  34. Решение уравнения   sin x = a
  35. Решение уравнения   cos x = a
  36. Решение уравнения   tg x = a
  37. Решение уравнения   ctg x = a
  38. Тригонометрические уравнения
  39. Введение дополнительного угла
  40. Универсальная подстановка
  41. Метод оценок
  42. Учёт тригонометрических неравенств
  43. Специальные приёмы

Методы решения тригонометрических уравнений –

Разработка урока по алгебре Решение тригонометрических уравнений вида a*sin(x) + b*cos(x) = c в 10 классе.

Тригонометрические уравнения. Уравнение, содержащее неизвестное под знаком тригонометрической функции, называется тригонометрическим

Методы решения тригонометрических уравнений

Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов:  преобразование уравнения для получения его простейшего вида ( см. выше ) и  решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Существует семь основных методов решения  тригонометрических уравнений.

1. Алгебраический метод. 

Этот метод нам хорошо известен из алгебры

( метод замены переменной и подстановки ).

2. Разложение на множители. 

Этот метод рассмотрим на примерах.

    П р и м е р  1.  Решить уравнение:  sin x + cos x = 1 .

    Р е ш е н и е .   Перенесём все члены уравнения влево:

                                                               sin x + cos x – 1 = 0 ,

                               преобразуем и разложим на множители выражение в

                               левой части уравнения:

    П р и м е р   2.   Решить уравнение:  cos 2 x + sin x · cos x = 1.

    Р е ш е н и е .     cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,

                                            sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,

                                            sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,

    П р и м е р   3.   Решить уравнение:  cos 2x – cos 8x + cos 6x = 1. 

     Р е ш е н и е .    cos 2x + cos 6x = 1 + cos 8x ,

                               2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,

                               cos 4x · ( cos 2x –  cos 4x ) = 0 ,

                               cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,

                              1).  cos 4x = 0 ,               2).  sin 3x = 0 ,          3). sin x = 0 ,

Уравнение называется однородным относительно  sin  и  cos, есливсе его члены одной и той же степени относительно sin  и cos  одного и того же угла. Чтобы решить однородное уравнение, надо:   а)  перенести все его члены в левую часть;   б)  вынести все общие множители за скобки;   в)  приравнять все множители и скобки нулю;   г)  скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на         cos ( или sin ) в старшей степени;    д)  решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan .     П р и м е р .   Решить уравнение:  3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.    Р е ш е н и е .  3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,                             sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,                             tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 ,  отсюда  y 2 + 4y +3 = 0 ,                             корни этого уравнения:  y1 = -1,  y2 = -3,  отсюда                             1)   tan x = –1,                  2)   tan x = –3,

4. Переход к половинному углу.

Рассмотрим этот метод на примере:

    П р и м е р .  Решить уравнение:  3 sin x – 5 cos x = 7. 

    Р е ш е н и е .  6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =

                                                                         = 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,

                             2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,

                             tan ² ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,

                                     .   .   .   .   .   .   .   .   .   .

5. Введение вспомогательного угла.

Рассмотрим уравнение вида:

                                           a sin x + b cos x = c ,

    где  a, b, c – коэффициенты;  x – неизвестное.

Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса, а именно: модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1. Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin ( здесь – так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение принимает вид:

6. Преобразование произведения в сумму

Здесь используются соответствующие формулы.

    П р и м е р .  Решить уравнение:  2 sin x · sin 3x = cos 4x.

    Р е ш е н и е .  Преобразуем левую часть в сумму:

                                        cos 4x – cos 8x = cos 4x ,

                                                 cos 8x = 0 ,

                                                 8x = p / 2 + pk ,

                                                 x = p / 16 + pk / 8 .

7. Универсальная подстановка.

Рассмотрим этот метод на примере.

      П р и м е р .   Решить уравнение:  3 sin x – 4 cos x = 3 .

                             Таким образом, решение даёт только первый случай.

Источник: https://www.sites.google.com/site/trigonometriavneskoly/metody-resenia-trigonometriceskih-uravnenij

Алгебра – 10 класс. Тригонометрические уравнения

Разработка урока по алгебре Решение тригонометрических уравнений вида a*sin(x) + b*cos(x) = c в 10 классе.

Что будем изучать:

1. Что такое тригонометрические уравнения?2. Простейшие тригонометрические уравнения.3. Два основных метода решения тригонометрических уравнений.4. Однородные тригонометрические уравнения.5. Примеры.

Что такое тригонометрические уравнения?

Ребята, мы с вами изучили уже арксинуса, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Теперь давайте посмотрим на тригонометрические уравнения в общем.

Тригонометрические уравнения – уравнения в котором переменная содержится под знаком тригонометрической функции.

Повторим вид решения простейших тригонометрических уравнений: 1)Если |а|≤ 1, то уравнение cos(x) = a имеет решение: x= ± arccos(a) + 2πk 2) Если |а|≤ 1, то уравнение sin(x) = a имеет решение:3) Если |а| > 1, то уравнение sin(x) = a и cos(x) = a не имеют решений4) Уравнение tg(x)=a имеет решение: x=arctg(a)+ πk 5) Уравнение ctg(x)=a имеет решение: x=arcctg(a)+ πk Для всех формул k- целое число

Простейшие тригонометрические уравнения имеют вид: Т(kx+m)=a, T- какая либо тригонометрическая функция

Пример. Решить уравнения: а) sin(3x)= √3/2 Решение: а) Обозначим 3x=t, тогда наше уравнение перепишем в виде: sin(t)=1/2. Решение этого уравнения будет: t=((-1)n)arcsin(√3 /2)+ πn. Из таблицы значений получаем: t=((-1)n)×π/3+ πn. Вернемся к нашей переменной: 3x =((-1)n)×π/3+ πn, тогда x= ((-1)n)×π/9+ πn/3 Ответ: x= ((-1)n)×π/9+ πn/3, где n-целое число. (-1)n – минус один в степени n.

Ещё примеры тригонометрических уравнений

Решить уравнения: а) cos(x/5)=1 б)tg(3x- π/3)= √3 Решение: а) В этот раз перейдем непосредственно к вычислению корней уравнения сразу:x/5= ± arccos(1) + 2πk. Тогда x/5= πk => x=5πk Ответ: x=5πk, где k – целое число. б) Запишем в виде: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk.

Мы знаем что: arctg(√3)= π/3 3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3 Ответ: x=2π/9 + πk/3, где k – целое число. Решить уравнения: cos(4x)= √2/2. И найти все корни на отрезке [0; π].

Решение: Решим в общем виде наше уравнение: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk 4x= ± π/4 + 2πk; x= ± π/16+ πk/2;

Теперь давайте посмотрим какие корни попадут на наш отрезок. При kПри k=0, x= π/16, мы попали в заданный отрезок [0; π].При к=1, x= π/16+ π/2=9π/16, опять попали.

При k=2, x= π/16+ π=17π/16, а тут вот уже не попали, а значит при больших k тоже заведомо не будем попадать. Ответ: x= π/16, x= 9π/16

Два основных метода решения

Мы рассмотрели простейшие тригонометрические уравнения, но существуют и более сложные. Для их решения применяют метод ввода новой переменной и метод разложения на множители. Давайте рассмотрим примеры. Решим уравнение:

Решение:Для решения нашего уравнения воспользуемся методом ввода новой переменной, обозначим: t=tg(x).

В результате замены получим: t2 + 2t -1 = 0

Найдем корни квадратного уравнения: t=-1 и t=1/3 Тогда tg(x)=-1 и tg(x)=1/3, получили простейшее тригонометрическое уравнение, найдем его корни. x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk. Ответ: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Пример решения уравнения

Решить уравнений: 2sin2(x) + 3 cos(x) = 0

Решение:

Воспользуемся тождеством: sin2(x) + cos2(x)=1

Наше уравнение примет вид:2-2cos2(x) + 3 cos (x) = 0

2 cos2(x) – 3 cos(x) -2 = 0

введем замену t=cos(x): 2t2 -3t – 2 = 0

Решением нашего квадратного уравнения являются корни: t=2 и t=-1/2 Тогда cos(x)=2 и cos(x)=-1/2. Т.к. косинус не может принимать значения больше единицы, то cos(x)=2 не имеет корней. Для cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk Ответ: x= ±2π/3 + 2πk

Однородные тригонометрические уравнения

Определение: Уравнение вида a sin(x)+b cos(x) называются однородными тригонометрическими уравнениями первой степени. Уравнения вида

однородными тригонометрическими уравнениями второй степени.

Для решения однородного тригонометрического уравнения первой степени разделим его на cos(x):Делить на косинус нельзя если он равен нулю, давайте убедимся что это не так:

Пусть cos(x)=0, тогда asin(x)+0=0 => sin(x)=0, но синус и косинус одновременно не равны нулю, получили противоречие, поэтому можно смело делить на ноль.

Решить уравнение:

Пример: cos2(x) + sin(x) cos(x) = 0 Решение: Вынесем общий множитель: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0 Тогда нам надо решить два уравнения: cos(x)=0 и cos(x)+sin(x)=0 cos(x)=0 при x= π/2 + πk; Рассмотрим уравнение cos(x)+sin(x)=0 Разделим наше уравнение на cos(x): 1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk Ответ: x= π/2 + πk и x= -π/4+πk

Однородные тригонометрические уравнения второй степени

Как решать однородные тригонометрические уравнения второй степени? Ребята, придерживайтесь этих правил всегда! 1.

Посмотреть чему равен коэффициент а, если а=0 то тогда наше уравнение примет вид cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), пример решения которого на предыдущем слайде 2.

Если a≠0, то нужно поделить обе части уравнения на косинус в квадрате, получим:

Делаем замену переменной t=tg(x) получаем уравнение:

Решить пример №:3

Решить уравнение:

Решение:

Разделим обе части уравнения на косинус квадрат:
Делаем замену переменной t=tg(x): t2 + 2 t – 3 = 0 Найдем корни квадратного уравнения: t=-3 и t=1 Тогда: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk tg(x)=1 => x= π/4+ πk Ответ: x=-arctg(3) + πk и x= π/4+ πk

Решить пример №:4

Решить уравнение:

Решение:Преобразуем наше выражение:

Решать такие уравнение мы умеем: x= – π/4 + 2πk и x=5π/4 + 2πk

Ответ: x= – π/4 + 2πk и x=5π/4 + 2πk

Решить пример №:5

Решить уравнение:

Решение:Преобразуем наше выражение:
Введем замену tg(2x)=t:22 – 5t + 2 = 0 Решением нашего квадратного уравнения будут корни: t=-2 и t=1/2 Тогда получаем: tg(2x)=-2 и tg(2x)=1/22x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2 2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2 Ответ: x=-arctg(2)/2 + πk/2 и x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Задачи для самостоятельного решения

1) Решить уравнение а) sin(7x)= 1/2 б) cos(3x)= √3/2 в) cos(-x) = -1 г) tg(4x) = √3 д) ctg(0.5x) = -1.7 2) Решить уравнения: sin(3x)= √3/2. И найти все корни на отрезке [π/2; π ].

3) Решить уравнение: ctg2(x) + 2ctg(x) + 1 =0

4) Решить уравнение: 3 sin 2(x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Решить уравнение:3sin2(3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos2(3x) =0

6)Решить уравнение:cos2(2x) -1 – cos(x) =√3/2 -sin2(2x)

Источник: https://mathematics-tests.com/10-klass-urok-na-temu-trigonometricheskie-uravneniya

Геометрия. Урок 1. Тригонометрия

Разработка урока по алгебре Решение тригонометрических уравнений вида a*sin(x) + b*cos(x) = c в 10 классе.

Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Тригонометрия” на канале Ёжику Понятно.

-уроки на канале Ёжику Понятно.

страницы:

Тригонометрия в прямоугольном треугольнике

Рассмотрим прямоугольный треугольник. Для каждого из острых углов найдем прилежащий к нему катет и противолежащий.

Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе.

sin α = Противолежащий катет гипотенуза

Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе.

cos α = Прилежащий катет гипотенуза

Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему (или отношение синуса к косинусу).

tg α = Противолежащий катет Прилежащий катет

Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему (или отношение косинуса к синусу).

ctg α = Прилежащий катет Противолежащий катет

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, угол C равен 90°:

sin ∠ A = C B A B

cos ∠ A = A C A B

tg ∠ A = sin ∠ A cos ∠ A = C B A C

ctg ∠ A = cos ∠ A sin ∠ A = A C C B

sin ∠ B = A C A B

cos ∠ B = B C A B

tg ∠ B = sin ∠ B cos ∠ B = A C C B

ctg ∠ B = cos ∠ B sin ∠ B = C B A C

Тригонометрия: Тригонометрический круг

Тригонометрия на окружности – это довольно интересная абстракция в математике. Если понять основной концепт так называемого “тригонометрического круга”, то вся тригонометрия будет вам подвластна. В описании к видео есть динамическая модель тригонометрического круга.

Тригонометрический круг – это окружность единичного радиуса с центром в начале координат. 

Такая окружность пересекает ось х в точках ( − 1 ; 0 ) и ( 1 ; 0 ) , ось y в точках ( 0 ; − 1 ) и ( 0 ; 1 )

На данной окружности будет три шкалы отсчета – ось x, ось y и сама окружность, на которой мы будем откладывать углы.

Углы на тригонометрической окружности откладываются от точки с координатами ( 1 ; 0 ) , – то есть от положительного направления оси x, против часовой стрелки. Пусть эта точка будет называться S (от слова start). Отметим на окружности точку A. Рассмотрим ∠ S O A , обозначим его за α . Это центральный угол, его градусная мера равна дуге, на которую он опирается, то есть ∠ S O A = α = ∪ S A .

Давайте найдем синус и косинус этого угла. До этого синус и косинус мы искали в прямоугольном треугольнике, сейчас будем делать то же самое. Для этого опустим перпендикуляры из точки A на ось x (точка B) и на ось игрек (точка C).

Отрезок OB является проекцией отрезка OA на ось x, отрезок OC является проекцией отрезка OA на ось y.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AOB:

cos α = O B O A = O B 1 = O B

sin α = A B O A = A B 1 = A B

Поскольку O C A B – прямоугольник, A B = C O .

Итак, косинус угла – координата точки A по оси x (ось абсцисс), синус угла – координата точки A по оси y (ось ординат).

Давайте рассмотрим еще один случай, когда угол α – тупой, то есть больше 90 ° :

Опускаем из точки A перпендикуляры к осям x и y. Точка B в этом случае будет иметь отрицательную координату по оси x. Косинус тупого угла отрицательный.

Можно дальше крутить точку A по окружности, расположить ее в III или даже в IV четверти, но мы пока не будем этим заниматься, поскольку в курсе 9 класса рассматриваются углы от 0 ° до 180 ° . Поэтому мы будем использовать только ту часть окружности, которая лежит над осью x.

  (Если вас интересует тригонометрия на полной окружности, смотрите видео на канале). Отметим на этой окружности углы 0 ° , 30 ° , 45 ° , 60 ° , 90 ° , 120 ° , 135 ° , 150 ° , 180 ° . Из каждой точки на окружности, соответствующей углу, опустим перпендикуляры на ось x и на ось y.

Координата по оси x – косинус угла, координата по оси y – синус угла.

Пример:

cos 150 ° = − 3 2

sin 150 ° = 1 2

Ещё одно замечание.

Синус тупого угла – положительная величина, а косинус – отрицательная.

Тангенс – это отношение синуса к косинусу. При делении положительной величины на отрицательную результат отрицательный. Тангенс тупого угла отрицательный.

Котангенс – отношение косинуса к синусу. При делении отрицательной величины на положительную результат отрицательный. Котангенс тупого угла отрицательный.

Основное тригонометрическое тождество

sin 2 α + cos 2 α = 1

Данное тождество – теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике O A B :

A B 2 + O B 2 = O A 2

sin 2 α + cos 2 α = R 2

sin 2 α + cos 2 α = 1

Тригонометрия: Таблица значений тригонометрических функций

30° 45° 60° 90°
sinα 0 12 22 32 1
cosα 1 32 22 12 0
tgα 0 33 1 3 нет
ctgα нет 3 1 33 0

Тригонометрия: градусы и радианы

Как перевести градусы в радианы, а радианы в градусы? Как и когда возникла градусная мера угла? Что такое радианы и радианная мера угла? Ищите ответы в этом видео!

Тригонометрия: Формулы приведения

Тригонометрия на окружности имеет некоторые закономерности. Если внимательно рассмотреть данный рисунок,

можно заметить, что:

sin 180 ° = sin ( 180 ° − 0 ° ) = sin 0 °

sin 150 ° = sin ( 180 ° − 30 ° ) = sin 30 °

sin 135 ° = sin ( 180 ° − 45 ° ) = sin 45 °

sin 120 ° = sin ( 180 ° − 60 ° ) = sin 60 °

cos 180 ° = cos ( 180 ° − 0 ° ) = − cos 0 °

cos 150 ° = cos ( 180 ° − 30 ° ) = − cos 30 °

cos 135 ° = cos ( 180 ° − 45 ° ) = − cos 45 °

cos 120 ° = cos ( 180 ° − 60 ° ) = − cos 60 °

Рассмотрим тупой угол β:

Для произвольного тупого угла β = 180 ° − α всегда будут справедливы следующие равенства:

sin ( 180 ° − α ) = sin α

cos ( 180 ° − α ) = − cos α

tg ( 180 ° − α ) = − tg α

ctg ( 180 ° − α ) = − ctg α

Тригонометрия: Теорема синусов

В произвольном треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C

Тригонометрия: Расширенная теорема синусов

Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной вокруг данного треугольника окружности.

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R

Тригонометрия: Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c ⋅ cos ∠ A

b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c ⋅ cos ∠ B

c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b ⋅ cos ∠ C

Тригонометрия: Тригонометрические уравнения

Это тема 10-11 классов.

Из серии видео ниже вы узнаете, как решать простейшие тригонометрические уравнения, что такое обратные тригонометрические функции, зачем они нужны и как их использовать. Если вы поймёте эти базовые темы, то вскоре сможете без проблем решать любые тригонометрические уравнения любого уровня сложности!

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с тригонометрией.

Скачать домашнее задание к уроку 1.

Источник: https://epmat.ru/modul-geometriya/urok-1-trigonometriya/

Простейшие тригонометрические уравнения

Разработка урока по алгебре Решение тригонометрических уравнений вида a*sin(x) + b*cos(x) = c в 10 классе.

Справочник по математикеТригонометрия

      Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения вида:

sin x = a ,     cos x = a ,     
tg x = a ,     ctgx = a .

где a – произвольное число.

Решение уравнения   sin x = a

Обычная формазаписи решения
Более удобная формазаписи решения
Ограниченияна число aВ случае, когда ,уравнение решений не имеет

Обычная форма записи решения:

Более удобная форма записи решения:

Ограничения на число a:

В случае, когда , уравнение решений не имеет.

      Графическое обоснование решения уравнения   sin x = a представлено на рисунке 1

Рис. 1

Частные случаи решения уравнений   sin x = a

УравнениеРешение
sin x = – 1
sin x = 0
sin x = 1
Уравнение:sin x = – 1Решение:
Уравнение:Решение:
Уравнение:Решение:
Уравнение:Решение:>
Уравнение:sin x = 0Решение:
Уравнение:Решение:
Уравнение:Решение:
Уравнение:Решение:
Уравнение:sin x = 1Решение:

Решение уравнения   cos x = a

Обычная формазаписи решения
Более удобная формазаписи решения
Ограниченияна число aВ случае, когда ,уравнение решений не имеет

Обычная форма записи решения:

Более удобная форма записи решения:

Ограничения на число a

В случае, когда , уравнение решений не имеет.

      Графическое обоснование решения уравнения   cos x = a   представлено на рисунке 2

Рис. 2

Частные случаи решения уравнений   cos x = a

УравнениеРешение
cos x = – 1
cos x = 0
cos x = 1
Уравнение:cos x = – 1Решение:
Уравнение:Решение:
Уравнение:Решение:
Уравнение:Решение:
Уравнение:cos x = 0Решение:
Уравнение:Решение:
Уравнение:Решение:
Уравнение:Решение:
Уравнение:cos x = 1Решение:

Решение уравнения   tg x = a

Обычная формазаписи решения:
Более удобная формазаписи решения
Ограниченияна число aОграничений нет

Обычная форма записи решения:

Более удобная форма записи решения:

Ограничения на число a:

Ограничений нет.

      Графическое обоснование решения уравнения   tg x = a представлено на рисунке 3.

Рис. 3

Частные случаи решения уравнений   tg x = a

УравнениеРешение
tg x = – 1
tg x = 0
tg x = 1
Уравнение:Решение:
Уравнение:tg x = – 1Решение:
Уравнение:Решение:
Уравнение:tg x = 0Решение:
Уравнение:Решение:
Уравнение:tg x = 1Решение:
Уравнение:Решение:

Решение уравнения   ctg x = a

Обычная формазаписи решения
Более удобная формазаписи решения
Ограниченияна число aОграничений нет

Обычная форма записи решения:

Более удобная форма записи решения:

Ограничения на число a:

Ограничений нет.

    Графическое обоснование решения уравнения   ctg x = a представлено на рисунке 4.

Рис. 4

Частные случаи решения уравнений   ctg x = a

УравнениеРешение
ctg x = – 1
ctg x = 0
ctg x = 1
Уравнение:Решение:
Уравнение:ctg x = – 1Решение:
Уравнение:Решение:
Уравнение:ctg x = 0Решение:
Решение:
Уравнение:ctg x = 1Решение:
Уравнение:Решение:

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

Источник: https://www.resolventa.ru/spr/trig/equation.htm

Тригонометрические уравнения

Разработка урока по алгебре Решение тригонометрических уравнений вида a*sin(x) + b*cos(x) = c в 10 классе.

Ну что, перечисляем обе серии (1) и (2) в ответе через запятую? Нет! Серия (2) является в данном случае частью серии (1). Действительно, если в формуле (1) число n кратно 5, то мы получаем все решения серии (2).
Поэтому ответ:

3.

Бывает, что перед разложением суммы или разности тригонометрических функций в произведение надо проделать обратную процедуру: превратить произведение в сумму (разность).

Решим уравнение:
Домножаем обе части на 2, преобразуем левую часть в разность косинусов, а правую часть — в сумму косинусов:
Ответ:

4. Ещё пример, где финальное разложение на множители поначалу замаскировано:
Здесь используем формулу понижения степени:
(которая является ни чем иным, как переписанной в другом виде формулой косинуса двойногоугла). Получаем:

и дальше ясно.

5. Многие оказываются в ступоре при виде следующего уравнения:
Переносим косинус влево и применяем формулу приведения
Дальше — дело техники.

6. А в этом примере нужны совсем другие манипуляции:
Раскладываем синус двойного угла, всё собираем в левой части и группируем:
Цель достигнута.

Рассмотрим уравнение:
Степень каждого слагаемого в левой части равна двум. Точно так же, как в обычном многочлене
степень каждого слагаемого равна двум (степень одночлена — это сумма степеней входящих в него сомножителей).

Поскольку степени всех слагаемых одинаковы, такое уравнение называют однородным. Для однородных уравнений существует стандартный приём решения — деление обеих его частей на .

Возможность этого деления, однако, должна быть обоснована: а что, если косинус равен нулю?

Следующий абзац предлагаем выучить наизусть и всегда прописывать его при решении однородных уравнений.

Предположим, что . Тогда в силу уравнения и , что противоречит основному тригонометрическому тождеству. Следовательно, любое решение данного уравнения удовлетворяет условию , и мы можем поделить обе его части на .

и дальнейший ход решения трудностей не представляет

1. Рассмотрим уравнение
Если бы в правой части стоял нуль, уравнение было бы однородным. Мы поправим ситуацию изящным приёмом: заменим число 3 на выражение :
и дело сделано.

2. Неожиданным образом сводится к однородному следующее уравнение:
Казалось бы, где тут однородность? Переходим к половинному углу!
откуда

(3)

Мы не случайно довели это уравнение до ответа. В следующем разделе оно будет решено другим методом, и ответ окажется внешне непохожим на этот.

Введение дополнительного угла

Этот метод применяется для уравнений вида . Он присутствует в школьных учебниках. Правда, в них рассматриваются только частные случаи — когда числа a и b являются значениями синуса и косинуса углов в 30°, 45° или 60°.

1. Рассмотрим уравнение
Делим обе части на 2:
Замечаем, что  :
В левой части получили синус суммы:

,

откуда и

2. Другой пример:
Делим обе части на
Сделаем теперь для разнообразия в левой части косинус разности:
3. Рассмотрим теперь общий случай — уравнение
Делим обе части на :

(4)

Для чего мы выполнили это деление? Всё дело в получившихся коэффициентах при косинусе и синусе.

Легко видеть, что сумма их квадратов равна единице:

Это означает, что данные коэффициенты сами являются косинусом и синусом некоторого угла :

Соотношение (4) тогда приобретает вид:
,или
Исходное уравнение сведено к простейшему. Теперь понятно, почему рассматриваемый метод называется введением дополнительного угла. Этим дополнительным углом как раз и является угол .

4. Снова решим уравнение
Делим обе части на :
Существует угол такой, что . Например, . Получаем:
,
,
,
,

В предыдущем разделе мы решили это уравнение, сведя его к однородному, и получили в качестве ответа выражение (3). Сравните с полученным только что выражением. А ведь это одно и то же множество решений!

Универсальная подстановка

Запомним две важные формулы:

Их ценность в том, что они позволяют выразить синус и косинус через одну и ту же функцию — тангенс половинного угла. Именно поэтому они получили название универсальной подстановки.

 Единственная неприятность, о которой не надо забывать: правые части этих формул не определены при . Поэтому если применение универсальной подстановки приводит к сужению ОДЗ, то данную серию нужно проверить непосредственно.

1. Решим уравнение
Выражаем , используя универсальную подстановку:
Делаем замену :
Получаем кубическое уравнение:
Оно имеет единственный корень . Стало быть, , откуда .
Сужения ОДЗ в данном случае не было, так как уравнение с самого начала содержало .

2. Рассмотрим уравнение
А вот здесь использование универсальной подстановки сужает ОДЗ. Поэтому сначала непосредственно подставляем в уравнение и убеждаемся, что это — решение.
Теперь обозначаем  и применяем универсальную подстановку:
После простых алгебраических преобразований приходим к уравнению:
Следовательно, и .
Ответ: .

Метод оценок

В некоторых уравнениях на помощь приходят оценки .

3.

Рассмотрим уравнение
Так как оба синуса не превосходят единицы, данное равенство может быть выполнено лишь в
том случае, когда они равны единице одновременно:
Таким образом, должны одновременно выполняться следующие равенства:
Обратите внимание, что сейчас речь идёт о пересечении множества решений (а не об их объединении, как это было в случае разложения на множители). Нам ещё предстоит понять, какие значения x удовлетворяют обоим равенствам. Имеем:
Умножаем обе части на 90 и сокращаем на π:
Правая часть, как видим, должна делиться на 5. Число n при делении на 5 может давать остатки от 0 до 4; иначе говоря, число n может иметь один из следующих пяти видов: 5n, 5m + 1, 5m + 2, 5m + 3 и 5m + 4, где. Для того, чтобы 9n+ 1 делилось на 5, годится лишь n = 5m + 1.

Искать k, в принципе, уже не нужно. Сразу находим x:

Ответ: .

4. Рассмотрим уравнение
Ясно, что данное равенство может выполняться лишь в двух случаях: когда оба синуса одновременно равны 1 или −1. Действуя так, мы должны были бы поочерёдно рассмотреть две системы уравнений.

Лучше поступить по-другому: умножим обе части на 2 и преобразуем левую часть в разность косинусов:
Тем самым мы сокращаем работу вдвое, получая лишь одну систему:
Имеем:
Ищем пересечение:
Умножаем на 21 и сокращаем на π:
Данное равенство невозможно, так как в левой части стоит чётное число, а в правой — нечётное.Ответ: решений нет.

5. Страшное с виду уравнение
также решается методом оценок. В самом деле, из неравенств следует, что . Следовательно, , причём равенство возможно в том и только в том случае, когда
Остаётся решить полученную систему. Это не сложно.

Учёт тригонометрических неравенств

Рассмотрим уравнение:
Перепишем его в виде, пригодном для возведения в квадрат:

Тогда наше уравнение равносильно системе:
Решаем уравнение системы:

,
,
Второе уравнение данной совокупности не имеет решений, а первое даёт две серии:
Теперь нужно произвести отбор решений в соответствии с неравенством . Серия  не удовлетворяет этому неравенству, а серия удовлетворяет ему. Следовательно, решением исходного уравнения служит только серия .
Ответ: .

Специальные приёмы

В этом разделе рассматриваются некоторые типы уравнений, приёмы решения которых нужно знать обязательно.

1. Рассмотрим уравнение
Это сравнительно редкий случай, когда используется исходная формула косинуса двойного угла:

,

,
,

Каждое из уравнений полученной совокупности мы решать умеем.

2. Теперь рассмотрим такое уравнение:

Метод решения будет совсем другим. Сделаем замену . Как выразить  через t? Имеем:
,
откуда . Получаем:
,
,
,
Как действовать дальше, мы знаем.

3.

Надо обязательно помнить формулы косинуса и синуса тройного угла (чтобы не изобретать их на экзамене):
,

Вот, например, уравнение:

Оно сводится к уравнению относительно :
,
,
Дальше всё понятно.

4. Как бороться с суммой четвёртых степеней синуса и косинуса? Рассмотрим уравнение
Выделяем полный квадрат!

,

,
,
,
,
,

5. А как быть с суммой шестых степеней? Рассмотрим такое уравнение:

Раскладываем левую часть на множители как сумму кубов: .Получим:

,

С суммой четвёртых степеней вы уже умеете обращаться.

Мы рассмотрели основные методы решения тригонометрических уравнений. Знать их нужно обязательно, это — необходимая база.

В более сложных и нестандартных задачах нужно ещё догадаться, как использовать те или иные методы. Это приходит только с опытом. Именно этому мы и учим на наших занятиях.

Источник: https://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/trigonometricheskie-uravneniya/

Ваш педагог
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: