Урок геометрии в 8 классе Определение подобных треугольников

Урок 6: Подобные треугольники

План урока:

Пропорциональные отрезки

Определение подобных треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй и третий признаки подобия треугольников

Отношение площадей подобных треугольников

Пропорциональные отрезки

Если известна длина двух отрезков, то можно узнать, во сколько раз один из них больше другого. Например, если некоторый отрезок NM = 24 см, а другой отрезок KP = 4 см, то можно утверждать, что NM в 6 раз длиннее, так как

Величину NM/KP именуют отношением отрезков NM и KP. Надо заметить, что в ряде случаев отношение отрезков можно найти, не зная их длины. Пусть в ∆МКР проведена медиана МН. Очевидно, что отрезок КР будет вдвое длиннее КН, ведь Н – середина КР:

Другой пример – это отношение между диагональю квадрата и его стороной.

Используя теорему Пифагора, несложно показать, что в любом квадрате АВСD

Наконец, в прямоугольном треуг-ке, один из углов которого равен 30°, гипотенуза всегда вдвое длиннее меньшего из катетов:

Если отношение отрезка AB к А1В1 равно отношению отрезка СD к С1D1, то говорят, что отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам А1В1 и С1D1. Например, пусть

Получается, AВ и CD пропорциональны А1В1 и С1D1. Важно отметить, что пропорциональны могут быть также сразу три и более отрезка.

Определение подобных треугольников

В жизни нередко можно наблюдать объекты, у которых совпадает форма, но отличаются размеры. В качестве примера можно привести мяч для настольного тенниса и баскетбольный мяч.

Оба этих предмета имеют форму шара, на баскетбольный мяч значительно больше. Другой пример – настоящий танк и игрушка, изображающая его.

Часто подобны друг другу матрешки, которые вкладываются друг в друга – все они выглядят одинаково, а отличаются только общим размером. Наконец, подобны и знаменитые египетские пирамиды:

Такие объекты в геометрии именуют подобными. Подобны друг другу любые две окружности и любые два квадрата. Но особо важную роль в геометрии играют подобные треугольники. Рассмотрим это понятие подробнее.

Пусть есть два треуг-ка, ∆AВС и ∆А1В1С1, у которых соответственно равны углы:

Стороны, которые лежат против одинаковых углов в таких треуг-ках, именуют сходственными. Ими являются стороны AВ и А1В1, ВС и В1С1, АС и А1С1.

Можно дать такое определение подобных треугольников:

Таким образом, подобие треугольников (оно обозначается символом ∾) обозначает выполнение сразу нескольких равенств:

Отношение между сходственными сторонами подобных треуг-ков именуется коэффициентом подобия и обозначается буквой k:

Грубо говоря, подобие треуг-ков означает, что их форма одинакова, но один из них в несколько раз больше или меньше другого. Чтобы получить, из одного треуг-ка другой, равный ему по размерам, его надо просто «масштабировать». Например, на этом рисунке все стороны исходного треуг-ка просто увеличили в три раза:

Это значит, что коэффициент подобия в данном случае равен 3. Однако важно понимать, что в различных геометрических задачах подобные треуг-ки также могут быть повернуты друг относительно друга:

Задание. ∆AВС подобен ∆DEF. Известно, что

Найдите длину ЕF.

Решение. Как только в задаче появляются подобные треуг-ки, стоит сразу же определить их коэффициент подобия, а для этого надо разобраться, какие стороны будут сходственными. Так как∠А = ∠Е, то лежащие против них стороны DF и ВС– сходственные. Их отношение и будет равно коэффициенту подобия:

Получили, что стороны ∆DEF вдвое длиннее сходственных им сторон ∆AВС. У подобных треуг-ков углы одинаковы, поэтому∠С = ∠D. Отсюда следует, что стороны AВ и ЕF сходственны, а потому ЕF вдвое больше:

Задание. ∆AВС и∆DEF – подобные. Известно, что

Найдите длину ЕF.

Решение. По сравнению с предыдущей задачей изменилось только одно условие, теперь∠А = ∠D. Однако это меняет сходственные стороны. Из подобия треуг-ков следует, что∠С = ∠Е. Тогда сходственными оказываются уже стороны AВ и DF. Найдем коэффициент подобия треугольников:

Сходственными являются также стороны ВС и ЕF (ведь∠А = ∠D), поэтому ЕF в 1,25 раза длиннее:

Эти две задачи показывают, как важно правильно определять сходственные стороны подобных треугольников.

Естественно, что все равные друг другу треуг-ки являются одновременно и подобными, причем их коэффициент подобия равен единице.

Задание. Докажите, что у подобных треуг-ков отношение их периметров равно коэффициенту подобия.

Решение. Пусть подобны ∆ AВС и ∆А1В1С1, причем

Периметр ∆AВС можно вычислить так:

Мы доказали утверждение, сформулированное в условии.

Первый признак подобия треугольников

Оказывается, для того, чтобы доказать подобие треуг-ков, не требуется сравнивать все их углы и находить соотношение всех сторон. Существуют три простых признака подобия треугольников.

Однако прежде, чем сформулировать их, нам придется доказать отдельное утверждение, которое известно как обобщенная теорема Фалеса («обычную», не обобщенную теорему мы уже изучали ранее).

Если прямые ВВ1 и СС1 (показаны красным цветом)параллельны, то отрезки AВ и АС пропорциональны отрезкам AВ1 и АС1, то есть справедливо соотношение:

Доказывать будем от противного. Пусть отрезки AВ и АС непропорциональны AВ1 и АС1. Тогда отметим наАС такую точку Н, которая разобьет АС на пропорциональные отрезки, то есть

Естественно, эта точка не будет совпадать с С1. Рассмотрим случай, когда она окажется правее, чем С1:

Теперь поступим следующим образом. Проведем через стороны угла большое число прямых, параллельных ВС, которые будут разбивать АС на одинаковые отрезки. По теореме Фалеса эти же прямые отсекут одинаковые отрезки и на AВ. При этом мы проведем настолько много параллельных прямых, что хотя бы одна из них пересечет отрезок С1Н:

Пусть эта прямая пересечет отрезок С1Н в некоторой точке С2, а сторону AВ в точке В2. Ясно, что отрезки AВ и АВ2 пропорциональны отрезкам АС и АС2, так как они состоят из одинакового количества одинаковых отрезков.

Например, на построенном рисунке отношение AB2 к AB равно 5/8, так как AB2 состоит из 5 отрезков, отсеченных зелеными параллельными прямыми, а AB состоит из 8 таких отрезков. Аналогично и отношение АС2 к АС также равно 5 к 8.

Таким образом, можно записать:

Здесь мы рассмотрели случай, когда точка Н лежит правее С1, то есть АН >C1. Случай, когда АН

Источник: https://100urokov.ru/predmety/urok-6-podobnye-treugolniki

8 класс. Геометрия. Подобные треугольники. Практические приложения подобия треугольников. – Повторение темы

По­вто­ре­ние темы «По­доб­ные тре­уголь­ни­ки». Ре­ше­ние задач

 1. Определение подобных треугольников

На этом уроке мы по­вто­рим тему «По­доб­ные тре­уголь­ни­ки».

Для на­ча­ла вспом­ним опре­де­ле­ние по­доб­ных тре­уголь­ни­ков.

Опре­де­ле­ние

Тре­уголь­ни­ки  и  на­зы­ва­ют­ся по­доб­ны­ми тре­уголь­ни­ка­ми (), если у них все углы равны, а со­от­вет­ству­ю­щие сто­ро­ны про­пор­ци­о­наль­ны (см. Рис. 1).

Рис. 1

; .

При этом ко­эф­фи­ци­ент  на­зы­ва­ет­ся ко­эф­фи­ци­ен­том по­до­бия.

Если обо­зна­чить: , можно по­лу­чить сле­ду­ю­щие со­от­но­ше­ния между сто­ро­на­ми по­доб­ных тре­уголь­ни­ков: .

Кроме того, пло­ща­ди по­доб­ных тре­уголь­ни­ков от­но­сят­ся как квад­рат ко­эф­фи­ци­ен­та по­до­бия: .

 2. Признаки подобия треугольников

Для того чтобы опре­де­лить, яв­ля­ют­ся ли тре­уголь­ни­ки по­доб­ны­ми, не при­бе­гая к опре­де­ле­нию, су­ще­ству­ют при­зна­ки по­до­бия тре­уголь­ни­ков.

Всего су­ще­ству­ет три при­зна­ка по­до­бия. Пе­ре­чис­лим их:

1.      По ра­вен­ству двух углов: если два угла од­но­го тре­уголь­ни­ка равны двум углам дру­го­го тре­уголь­ни­ка, то такие тре­уголь­ни­ки по­доб­ны:.

2.      По про­пор­ци­о­наль­но­сти двух сто­рон и ра­вен­ству угла между ними: если две сто­ро­ны од­но­го тре­уголь­ни­ка про­пор­ци­о­наль­ны со­от­вет­ствен­но двум сто­ро­нам дру­го­го тре­уголь­ни­ка, а углы, за­клю­чён­ные между этими сто­ро­на­ми, равны, то такие тре­уголь­ни­ки по­доб­ны: .

3.      По про­пор­ци­о­наль­но­сти трёх сто­рон: если три сто­ро­ны од­но­го тре­уголь­ни­ка про­пор­ци­о­наль­ны со­от­вет­ствен­но трём сто­ро­нам дру­го­го тре­уголь­ни­ка, то такие тре­уголь­ни­ки по­доб­ны: .

С по­мо­щью по­до­бия тре­уголь­ни­ков до­ка­зы­ва­ет­ся свой­ство сред­ней линии тре­уголь­ни­ка. На­пом­ним опре­де­ле­ние сред­ней линии тре­уголь­ни­ка.

 3. Свойства средней линии и медиан треугольника

Сред­няя линия тре­уголь­ни­ка – от­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий се­ре­ди­ны двух сто­рон тре­уголь­ни­ка.

Свой­ство сред­ней линии тре­уголь­ни­ка: сред­няя линия тре­уголь­ни­ка па­рал­лель­на сто­роне тре­уголь­ни­ка и равна её по­ло­вине (см. Рис. 2).

Рис. 2

.

С по­до­би­ем свя­за­но до­ка­за­тель­ство ещё од­но­го важ­но­го факта – свой­ства ме­ди­ан тре­уголь­ни­ка (ко­то­рое ино­гда ещё на­зы­ва­ют тео­ре­мой Ар­хи­ме­да): ме­ди­а­ны тре­уголь­ни­ка пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке, при­чём точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся в от­но­ше­нии , счи­тая от вер­ши­ны тре­уголь­ни­ка (см. Рис. 3).

Рис. 3

; 

 4. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

По­лез­ны­ми свой­ства по­до­бия ока­зы­ва­ют­ся и в пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ках.

Мы вы­яс­ни­ли, что вы­со­та пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, про­ве­дён­ная к ги­по­те­ну­зе, делит тре­уголь­ник на два по­доб­ных пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ка, ко­то­рые по­доб­ны также ис­ход­но­му тре­уголь­ни­ку.

Из этого сле­ду­ет сразу несколь­ко важ­ных фак­тов, свя­зы­ва­ю­щих про­пор­ци­о­наль­ные от­рез­ки в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке (см. Рис. 4).

Рис. 4

.

1.       (катет равен сред­не­му гео­мет­ри­че­ско­му ги­по­те­ну­зы и своей про­ек­ции на неё).

2.       (катет равен сред­не­му гео­мет­ри­че­ско­му ги­по­те­ну­зы и своей про­ек­ции на неё).

3.       (вы­со­та, про­ве­дён­ная к ги­по­те­ну­зе, равна сред­не­му гео­мет­ри­че­ско­му про­ек­ций ка­те­тов на ги­по­те­ну­зу).

 5. Решение примера

Рас­смот­рим за­да­чу, в ко­то­рой ис­поль­зу­ют­ся по­лу­чен­ные в теме «По­доб­ные тре­уголь­ни­ки» зна­ния.

За­да­ча

Дан пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник . В нём про­ве­де­на вы­со­та . . Найти вы­со­ту тре­уголь­ни­ка, ка­те­ты, а также синус угла  и тан­генс угла .

Дано: ,  – вы­со­та, .

Найти:  – ?

Ре­ше­ние

Рис. 5

Вос­поль­зу­ем­ся со­от­но­ше­ни­я­ми между про­пор­ци­о­наль­ны­ми от­рез­ка­ми в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке:

.

.

.

Най­дём синус угла , вос­поль­зо­вав­шись опре­де­ле­ни­ем си­ну­са остро­го угла пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка – от­но­ше­ние про­ти­во­ле­жа­ще­го ка­те­та к ги­по­те­ну­зе:

.

Най­дём тан­генс угла , вос­поль­зо­вав­шись опре­де­ле­ни­ем тан­ген­са остро­го угла пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка – от­но­ше­ние про­ти­во­ле­жа­ще­го ка­те­та к при­ле­жа­ще­му: .

Ответ: .

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/podobnye-treugolniki/povtorenie-temy-podobnye-treugolniki-reshenie-zadach

http://www..com/watch?v=cu24HiYohk0

http://www..com/watch?v=T7dLQeh7kRU

http://www..com/watch?v=Odyr65t5S5k

http://metodbook.ru/index.php/matematika/13-testy-po-geometrii-8-klass/107-test-po-geometrii-8-klass-obobshchenie-temy-podobnye-treugolniki-variant-1.html

http://metodbook.ru/index.php/matematika/13-testy-po-geometrii-8-klass/108-test-po-geometrii-8-klass-obobshchenie-temy-podobnye-treugolniki-variant-2.html

http://metodbook.ru/index.php/matematika/13-testy-po-geometrii-8-klass/109-teoreticheskij-test-po-geometrii-8-klass-tema-podobnye-treugolniki.html

http://rushkolnik.ru/tw_files2/urls_3/891/d-890061/890061_html_m5ff065f.jpg

http://cs1-48v4.-cdn.net/p24/3551abddfac0c8.mp3?extra=amJxaBk9gfTT0lPmsOEwb8Rn_T2twbNJH1OUazYT-T9cSSu4_1787ibMzOu6ytv1rZKrpdEq7XnWZN1f-bjAuKyWIFf7mzw

Источник: https://www.kursoteka.ru/course/2629/lesson/8595/unit/22028

Урок 31. Определение подобных треугольников – ГЕОМЕТРИЯ 8

Поурочное планирование по геометрии для 8 класса. Ориентировано на работу с УМК Атанасян и др. Геометрия 8 класс. Глава VII. ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ. Урок 31. Определение подобных треугольников. Вернуться к Списку уроков Тематического планирования.

Урок 31. Определение подобных треугольников

Основные дидактические цели урока: ввести понятие пропорциональных отрезков и подобных треугольников; рассмотреть свойство биссектрисы треугольника и показать его применение в процессе решения задач.

Ход урока

I. Организационный момент

Мотивация к учебной деятельности. Учитель сообщает тему урока, формулирует цели урока.

1. Анализ ошибок, допущенных в контрольной работе

• 1) Провести общий анализ контрольной работы.
• 2) Решить задачи, с которыми не справилось большинство учащихся.
• 3) Работа над ошибками.

(На интерактивной доске записаны готовые ответы и указания к задачам контрольной работы № 2. Ученики находят и исправляют свои ошибки. Учитель по мере необходимости оказывает индивидуальную помощь.)

2. Подготовка учащихся к восприятию нового материала (фронтальная работа)

1) Что называют отношением двух чисел? Что показывает отношение?2) АВ : CD = 2:1. О чем это говорит? Найдите отношение CD к АВ.

3) В ΔАВС АВ : ВС : АС = 2 : 4 : 3, РАВС = 45 дм. Найдите стороны треугольника АВС.

4) Что называют пропорцией? Верны ли пропорции 1,5 : 1,8 = 25 : 30; 18 : 3 = 5 : 30?5) В пропорции a: b = c : d укажите крайние и средние члены. Сформулируйте основное свойство пропорции.6) Переставив средние или крайние члены пропорции, составьте три верные пропорции:а) 12 : 0,2 = 30 : 0,5;б) АВ : MN = CD : КР.7) Найдите неизвестный член пропорции.а) 7х : 4,2= 12,3 : 6;

б) х : АВ = MN : КР (найти поочередно АВ, MN, КР).

III. Работа по теме урока

1. Ввести понятие отношения отрезков.
   Определение: Отношением отрезков АВ и CD называется отношение их длин, т. е. АВ : CD.
2. Ввести понятие пропорциональных отрезков.

   Определение: Отрезки АВ и CD пропорциональны отрезкам A1B1 и С1D1 , если AB/A1B1 = СD/С1D1.

Например: Если АВ = 5 см, CD = 7 см, А1В1 = 7,5 см, C1D1 = 10,5 см, то АВ : A1B1 = CD : С1D1, т. е. отрезки АВ и CD пропорциональны отрезкам A1B1 и С1D1.

Отрезки АВ, CD, MN пропорциональны отрезкам A1B1, С1D1, и M1N1. Найдите С1D1 и MN, если AB = 5 см, A1B1 = 20 см, CD = 6 см, M1N1 = 8 см.

1. Ввести понятие подобных фигур (два круга, два квадрата, два мяча разных размеров, одна и та же фотография на фотоаппарате и на экране компьютера и т. д.).
2. Ввести понятие подобных треугольников.

Стороны АВ и A1B1, ВС и B1C1, АС и A1C1, называют сходственными.
Определение: Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.

IV. Закрепление изученного материала

1. Работа в рабочих тетрадях (работа в парах). Решить задачи № 51, 52. (Учитель читает условие задачи № 51, ученики заполняют пропуски в тетради. Одна пара отвечает на вопрос, затем идет обсуждение.

   Так же решить задачу № 52.)

2. Решить задачу № 535. (Ученики самостоятельно читают задачу и ее решение. Один ученик работает у доски, остальные — в тетрадях.

   )

Вопросы, контролирующие глубину усвоения доказательства.

1. Решить на доске и в тетрадях задачи № 536 (б), 541. (Два ученика работают у доски, остальные — в тетрадях.)

Задача № 536 (б)

Наводящие вопросы.

• Как биссектриса треугольника делит противолежащую сторону?
• Длину какого отрезка необходимо найти для нахождения отрезка CD?
• Как можно вычислить длину отрезка ВС?

Задача № 541

Наводящие вопросы.

• Когда два треугольника подобны?
• Равны ли углы этих треугольников?
• Пропорциональны ли сходственные стороны данных треугольников?
• Подобны ли ΔАВС и ΔEDF?

1. Решить задачи № 534 (в), 537 (самостоятельно).

V. Рефлексия учебной деятельности

1. Что вы понимаете под «отношением отрезков»?
2. Что значит «отрезки АВ и CD пропорциональны отрезкам А1В1 и C1D1?
3. Приведите примеры подобных фигур.
4. Какие треугольники называются подобными?

Домашнее задание

1. П. 58, 59, вопросы 1, 2, 3 (учебник, с. 158).
2. Решить задачи № 534 (а, б), 535 (устно), 536 (а), 538, 542.
3. Решить задачу № 53 (рабочая тетрадь).

Вы смотрели: Поурочное планирование по геометрии для 8 класса. УМК Атанасян и др. (Просвещение). Глава VII. ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ. Урок 31. Определение подобных треугольников.

Вернуться к Списку уроков Тематического планирования.

Источник: https://uchitel.pro/%D1%83%D1%80%D0%BE%D0%BA-31-%D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%BE%D0%B1%D0%BD%D1%8B%D1%85-%D1%82%D1%80%D0%B5%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD/