Урок по алгебре для 8 класс а Решение квадратных уравнений

Содержание
  1. Алгебра – 8 класс. Графическое решение квадратных уравнений
  2. Способы решения квадратичных функций
  3. Алгоритм графического решения квадратичных функций
  4. Задачи для самостоятельного решения
  5. Конспект и презентация урока алгебры в 8 классе по теме
  6. 1. Организационный момент «Настроимся на урок!»
  7. 2. Проверка домашнего задания
  8. 3. Определение вида «Квадратного уравнения»
  9. 4. Работа в парах Математика и биология
  10. 5. Решение квадратных уравнений по свойству коэффициентов
  11. 7. Итог урока
  12. Квадратные уравнения (8 класс)
  13. Коэффициент \(a\) называют первым или старшим коэффициентом, \(b\) – вторым коэффициентом, \(c\) – свободным членом уравнения.
  14. Если в квадратном уравнении присутствуют все три его члена, его называют полным. В ином случае уравнение называется неполным
  15. Открытый урок в 8 классе по теме «Квадратные уравнения»
  16. План урока
  17. 1. Организационный момент «Настроимся на урок!»
  18. 2. Проверка домашнего задания
  19. 3. Тест «Квадратные уравнения»
  20. I вариант
  21. II вариант
  22. 4. Работа в парах
  23. Математика и биология
  24. 5. Немного истории
  25. 6. Продвинутые способы решения квадратных уравнений
  26. Решение квадратных уравнений по свойству коэффициентов
  27. 7. Итог урока
  28. Решение квадратных уравнений. 8 класс. Разработка урока
  29. I. Организационный момент
  30. II. Актуализация знаний. Первичный контроль
  31. III. Рефлексия
  32. IV. Домашнее задание

Алгебра – 8 класс. Графическое решение квадратных уравнений

Урок по алгебре для 8 класс а Решение квадратных уравнений
На прошлом уроке мы научились строить график любой квадратичной функции. С помощью таких функций мы можем решать, так называемые, квадратные уравнения, которые в общем виде записываются следующим образом:$ax2+bx+c=0$, $a, b, c$ – любые числа, но $a≠0$. Ребята, сравните уравнение, записанное выше и это: $y=ax2+bx+c$.

Они практически идентичны. Отличие в том, что вместо $y$ мы записали $0$, т.е. $y=0$. Как же тогда решить квадратные уравнения? Первое, что приходит на ум, надо построить график параболы $ax2+bx+c$ и найти точки пересечения этого графика с прямой $y=0$. Существуют и другие способы решения.

Рассмотрим их на конкретном примере.

Способы решения квадратичных функций

Пример. Решить уравнение: $x2+2x-8=0$.Решение.Способ 1. Построим график функции $y=x2+2x-8$ и найдем точки пересечения с прямой $y=0$.Коэффициент при старшей степени положителен, значит ветви параболы смотрят вверх. Найдем координаты вершины:$x_{в}=-\frac{b}{2a}=\frac{-2}{2}=-1$.

$y_{в}=(-1)2+2*(-1)-8=1-2-8=-9$.Точку с координатами $(-1;-9)$ примем за начало новой системы координат и построим в ней график параболы $y=x2$.

Мы видим две точки пересечения. Они отмечены черными точками на графике. Мы решаем уравнение относительно х, поэтому надо выбрать абсциссы этих точек.

Они равны $-4$ и $2$.Таким образом, решением квадратного уравнения $x2+2x-8=0$ являются два корня:$ x_1=-4$ и $x_2=2$.Способ 2. Преобразуем исходное уравнение к виду: $x2=8-2x$.

Таким образом мы можем решить это уравнение обычным графическим способом, найдя абсциссы точек пересечения двух графиков $y=x2$ и $y=8-2x$.

Получили две точки пересечения, абсциссы которых совпадают с полученными в первом способе решениями, а именно: $x_1=-4$ и $x_2=2$.Способ 3. Преобразуем исходное уравнение к такому виду: $x2-8=-2x$.Построим два графика $y=x2-8$ и $y=-2x$ и найдем их точки пересечения.

Графиком $y=x2-8$ является парабола, смещенная на 8 единиц вниз.

Получили две точки пересечения, причем абсциссы этих точек такие же, как и в двух предыдущих способах, а именно: $x_1=-4$ и $x_2=2$.Способ 4. Выделим полный квадрат в исходном уравнении:$x2+2x-8=x2+2x+1-9=(x+1)2-9$.

Построим два графика функций $y=(x+1)2$ и $y=9$. Графиком первой функции является парабола, смещенная на одну единицу влево.

График второй функции – это прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через ординату равную $9$.

В очередной раз получили две точки пересечения графиков, причем абсциссы этих точек совпадают с полученными в предыдущих способах $x_1=-4$ и $x_2=2$.Способ 5. Разделим исходное уравнение на х:$\frac{x2}{x}+\frac{2x}{x}-\frac{8}{x}=\frac{0}{x}$.$x+2-\frac{8}{x}=0$.$x+2=\frac{8}{x}$.

Решим это уравнение графически, построим два графика $y=x+2$ и $y=\frac{8}{x}$.

Опять получили две точки пересечения, причем абсциссы этих точек совпадают с полученными выше $x_1=-4$ и $x_2=2$.

Алгоритм графического решения квадратичных функций

Ребята, мы рассмотрели пять способов графического решения квадратных уравнений. В каждом из этих способов корни уравнений получились одинаковыми, что значит решение получено верное.Основные способы графического решения квадратных уравнений $ax2+bx+c=0$, $a, b, c$ – любые числа, но $a≠0$:1.

Построить график функции $y=ax2+bx+c$, найти точки пересечения с осью абсцисс, которые и будут решением уравнения.2. Построить два графика $y=ax2$ и $y=-bx-c$, найти абсциссы точек пересечения этих графиков.3. Построить два графика $y=ax2+c$ и $y=-bx$, найти абсциссы точек пересечения этих графиков.

Графиком первой функции будет парабола, смещенная либо вниз либо вверх, в зависимости от знака числа с. Второй график – прямая, проходящая через начало координат.4. Выделить полный квадрат, то есть привести исходное уравнение к виду:$a(x+l)2+m=0$.Построить два графика функции $y=a(x+l)2$ и $y=-m$, найти их точки пересечения.

Графиком первой функции будет парабола, смещенная либо влево, либо вправо, в зависимости от знака числа $l$. Графиком второй функции будет прямая, параллельная оси абсцисс и пересекающая ось ординат в точке равной $-m$.5. Разделить исходное уравнение на х: $ax+b+\frac{c}{x}=0$.Преобразовать к виду: $\frac{c}{x}=-ax-b$.

Опять построить два графика и найти точки их пересечения. Первый график – гипербола, второй график – прямая.К сожалению, графический метод решения квадратных уравнений не всегда является хорошим способом решения.

Точки пересечения различных графиков не всегда являются целыми числами или могут иметь в абсциссе (ординате) очень большие числа, которые не построить на обычном листе бумаги.Более наглядно продемонстрируем все эти способы на примере.Пример. Решить уравнение: $x2+3x-12=0$,Решение.

Построим график параболы и найдем координаты вершин:$x_{в}=-\frac{b}{2a}=\frac{-3}{2}=-1,5$.$y_{в}=(-1,5)2+2*(-1,5)-8=2,25-3-8=-8,75$.

При построении такой параболы сразу возникают проблемы, например, чтобы правильно отметить вершину параболы. Для того, чтобы точно отметить ординату вершины нужно выбрать одну клеточку, равную 0,25 единиц масштаба. При таком масштабе нужно спуститься на 35 единиц вниз, что неудобно. Все таки построим наш график.

Вторая проблема с которой мы сталкиваемся, это то, что график нашей функции пересекает ось абсцисс в точке с координатами, которые точно определить невозможно.

Возможно приблизительное решение , но математика – это точная наука. Таким образом, графический метод оказывается не самым удобным.

Поэтому для решений квадратных уравнений требуется более универсальный метод, который мы изучим на следующих уроках.

Задачи для самостоятельного решения

1. Решить уравнение графически (всеми пятью способами): $x2+4x-12=0$.2. Решить уравнение любым графическим способом: $-x2+6x+16=0$.

Источник: https://mathematics-tests.com/8-klass-graficheskoe-reshenie-kvadratnix-uravneniy

Конспект и презентация урока алгебры в 8 классе по теме

Урок по алгебре для 8 класс а Решение квадратных уравнений

КГУ «Первомайский комплекс «Общеобразовательная средняя школа-детский сад имени Д. М. Карбышева» отдела образования Шемонаихинского района»

Конспект урока по алгебрев 8 классе

«Решение квадратных уравнений»

подготовила

учитель математики

Беляева Елена Валерьевна

п. Первомайский,

2013

Цели:

  • обучающая: повторить, обобщить полученные знания по теме «Квадратные уравнения»; изучить новый способ решения квадратных уравнений.
  • развивающая: расширение кругозора учащихся, развитие интереса к предмету, развитие личностных качеств учащихся их коммуникативных характеристик; Развитие вычислительных навыков
  • воспитательная: воспитание чувства товарищества, навыков самоконтроля и взаимоконтроля, воли, упорства в достижении цели.

1. Организационный момент «Настроимся на урок!»

Здравствуйте, ребята и гости нашего урока! Математику не зря называют «царицей наук», ей больше, чем какой-либо другой науке, свойственны красота, изящность и точность. Одно из замечательных качеств математики — любознательность. Постараемся доказать это на уроке.

Тему урока узнаете, если выполните следующее задание:

2 слайд

Решить анаграммы.

таиимдкисрнн (дискриминант), ретокоз (отрезок), ниваренуе (уравнение), фэкоцинетиф (коэффициент), ерокнь (корень)

Необходимо исключить лишнее слово по смыслу.(отрезок).

— Какая тема объединяет остальные слова? (Квадратные уравнения.)

— Да, сегодня мы с вами продолжим знакомство с квадратными уравнениями, вспомним и обобщим все те знания, которые вы получили на предыдущих уроках, получим новые знаний.

3 слайд

Итак, откройте тетради и запишите число и тему урока: «Решение квадратных уравнений».

4 слайд

Эпиграфом к уроку я взяла слова великого математика Паскаля «Предмет математики настолько серьезен, что полезно не упускать случая делать его немного занимательным». В течение урока мы еще вернемся к этим словам.

Давайте, определим цели нашей совместной работы, и каждый поставит перед собой цель своей индивидуальной деятельности на уроке.

(Учащиеся обозначают цели учебной деятельности)

Учитель: цели мы с вами перед собой поставили. Итак, мы приступаем к работе. Оценивать свою работу вы будете сами, за каждый правильный ответ ставите 1 балл в оценочный лист, который лежит у вас на столах.

5 слайд

2. Проверка домашнего задания

Начнем урок с проверки домашнего задания.

Правильность решения заданий вы не сможете проверить, т. к. на предыдущем уроке каждый получил индивидуальное задание в зависимости от способностей и возможностей.

А вот знание теоретического материала, который понадобится нам на протяжении всего урока, давайте вспомним.

Разминка

Для того чтобы включиться в работу и сконцентрироваться, предлагаю вам небольшую разминку. Проверяем ваше внимание, умение ориентироваться в вопросах.

6 слайд

Вопросы:

  1. Какое название имеет уравнение второй степени?

  2. От чего зависит количество корней квадратного уравнения?

  3. Сколько корней имеет квадратное уравнение, если D больше 0?

  4. Равенство с переменной?

  5. Соперник нолика?

  6. Очень плохая оценка знаний?

  7. Что значит решить уравнение?

  8. Как называется квадратное уравнение, у которого первый коэффициент — 1?

  9. Как называется квадратное уравнение, у которого второй коэффициент и свободный член =0?

  10. Сколько корней имеет квадратное уравнение, если дискриминант меньше 0?

7 слайд

Проверьте ответы с доской.

За каждый правильный ответ в лист контроля ставите 1 балл.

Уравнения с давних времен волновали умы человечества. У английского поэта средних веков Чосера есть замечательные строки:

Посредством уравнений, теорем.
Я уйму разрешу проблем.

Конечно же, квадратные уравнения не исключения. Умения решать их очень важны не только для математики, но и для других наук.

3. Определение вида «Квадратного уравнения»

Итак, мы повторили, теоретический материал по теме квадратное уравнение. Сейчас я хотела бы проверить, как вы усвоили формулы и определения.

Заполните пропущенные клетки в карточках.

8 слайд

Определите вид уравнений:

Уравнение

Полное

Неполное

Приведенное

Неприведенное

Общий балл

9 слайд

Поменяйтесь тетрадями и проверьте правильность выполнения

Критерии оценивания: нет ошибок — 5б; 1 — 2 ошибки — 4б; 3 — 4 ошибки — 3б.

10-11 слайд Историческая справка

Учитель: Молодцы, с видами квадратных уравнений мы разобрались. А квадратные уравнения возникли очень давно. Еще в Вавилоне около 2000 лет назад до нашей эры. В 1202 году итальянский ученый Леонард Фибоначчи изложил формулы квадратного уравнения. И лишь в 17 веке, благодаря Ньютону и Декарту эти формулы приняли современный вид.

— Ребята, а с каким понятием мы сталкивались при решение квадратных уравнений? (Дискриминантом)

— Понятие «дискриминант» придумал английский ученый Сильвестр, который называл себя «Математическим Адамом» за то, что придумывал множество терминов.

— А для чего он нам нужен? (для определения корней квадратного уравнения)

— Скажите, в чем заключается зависимость корней квадратного уравнения от дискриминанта?

12 слайд

4. Работа в парах Математика и биология

Вернемся к эпиграфу нашего урока. Попытаемся сделать математику сегодня на уроке немного более занимательной. Вам необходимо угадать, что же находится в конверте.

Учитель: Вам предстоит определить слово, изучаемое в русском языке, математике и биологии. Для этого необходимо ответить на вопросы. Даю три определения этому предмету:

Вопрос учителя

Ответ учащихся

Назовите непроизводную основу словаКорень
Число, которое после подстановки в уравнение обращает уравнение в тождествоКорень
Один из основных органов растенийКорень

Теперь, если вы правильно решите уравнения, то сможете определить, какой цветок изображен на слайде. Для этого необходимо решить следующие квадратные уравнения:

13 слайд

1.3×2+7x + 2 = 0 (……..)

2.5х2-6х + 1 = 0 (……..)

3. 2х2 +5х-7 = 0 (….…)

4. 4х2 +4х-3 = 0 (…….)

Ключ

авр3
1;0,20,5;-1,5-1; 3-2;1; -3,5

14 слайд: фотография розы

Что это за растение?

Ответ: Роза.

Учитель: Значит, в конверте лежал корень розы, о которой в народе говорят: “Цветы ангельские, а когти дьявольские”. О розе существует интересная легенда: по словам Анакреона, родилась роза из белоснежной пены, покрывающей тело Афродиты, когда богиня любви выходила из моря. Поначалу роза была белой, но от капельки крови богини, уколовшейся о шип, стала алой.

Учитель: Видите, ребята, все в этом мире взаимосвязано: математика, русский язык и литература, биология. Мы увидели, что слово «корень» встречается на уроках биологии и математики. И не только.

5. Решение квадратных уравнений по свойству коэффициентов

Сегодня на уроке мы познакомимся с новым способом решения квадратных уравнений, который не изучается в школе. Но он очень интересный и вовсе не сложный.

15 слайд

Пусть дано квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0, где, а ≠ 0.

Свойство 1

Если, а + b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то х1= 1, х2 = с/а

Свойство 2

Если а – b + с = 0, или b = а + с, то х1 = – 1, х2 = – с/а

16 -17 слайд

Пример:

2×2 — 5x + 3 = 0 3×2 + 4x +1 = 0

18 слайд

Решите самостоятельно:

1 вариант:

5×2 — 12x + 7 = 0
7×2 + 3x -4 = 0

2 вариант:

3×2 — 7x + 4 = 0
4×2 + 7x + 3 = 0

6. Игра на проверку знаний математических терминов.

19 слайд

Предлагаю вам поиграть в игру. На каждый вопрос вы будете вычеркивать из таблицы буквы слова-ответа

Д

М

К

П

Н

И

Е

КРСООКЭ
ФИРПОИФ
ОЛВЦИИО
ЕМЛДНИН
РДНОЕЕ
ЕЦЕНАНТ
НОНЕЫТЬ

Вопросы: 1) Различитель квадратных уравнений по числу корней (дискриминант)

2) Значение переменной, которое обращает квадратный трехчлен в ноль (корень)

3) Полное квадратное уравнение, в котором а=1 (приведенное)

4) Квадратное уравнение, в котором b = 0, с = 0. (неполное)

5) Число, которое стоит впереди переменной (коэффициент).

20 слайд

Составьте из оставшихся букв слово.

Из оставшихся букв дети составляют слово “МОЛОДЦЫ”. Карточки сдают.

Правильно, все вы сегодня молодцы!!!!

7. Итог урока

Учитель:

Какое уравнение называется квадратным?

Какие виды квадратных уравнений вы знаете?

Что нового мы узнали на уроке?

Кто может сказать: “Да, я умею решать квадратные уравнения!”

21 слайд Оценки выставлю, когда проверю оценочные листы и карточки с буквами.

Домашнее задание

22 слайд

И закончить сегодняшний урок хотелось бы словами великого математика У. Сойера: «Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решить три-четыре различные задачи. Решая одну задачу различными методами, можно путем сравнений выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт»

23 слайд

Спасибо за урок

Лист контроля ________________________________

Анаграмма

Разминка

Определение вида уравнения

Работа в парах

Самостоятельная работа

(одно правильное решение – 1б)

Игра

Итого

Список использованной литературы

  1. Алгебра: Учебник  для 8 класса общеобразовательных школ. Абылкасымова А., Бекбоев И., Абдиев А. (2008, 144с.). Издательство «Мектеп».

  2. Алгебра: Дидактические материалы. Учебное пособие по алгебре для 8 класса общеобразовательных школ. Жумагулова З., Тулеубаева С. (2008, 80 с.). Издательство «Мектеп».

  3. Алгебра. Учебник для 8 класса общеобразовательных учреждений под редакцией С. А. Теляковского. – М.: Просвещение, 2007.

  4. В.И. Жохов, Ю. Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк.  Дидактические материалы по алгебре для 8 класса. – М.: Просвещение, 2001.  

  5. Ковалева Г. И. Уроки математики в 8 классе. Поурочные планы. Часть 2.- Волгоград: Гринина Е. С.,2003.-64с.

Свежие документы:  Конспект урока по Алгебре “Формулы сложения” 10 класс

Источник: https://www.alllessons.ru/algebra/konspekt-i-prezentatsiya-uroka-algebry-v-8-klasse-po-teme-reshenie-kvadratnyh-uravnenij.html

Квадратные уравнения (8 класс)

Урок по алгебре для 8 класс а Решение квадратных уравнений

Примеры:

\(3×2-26x+5=0\) \((4-x)(4x-3)=3\)

\(\frac{x2}{2}\)\(+\) \(\frac{2x}{3}\)\(=\)\(\frac{x-2}{6}\)

В первом примере \(a=3\), \(b=-26\), \(c=5\). В двух других \(a\),\(b\) и \(c\) не выражены явно. Но если эти уравнения преобразовать к виду \(ax2+bx+c=0\), они обязательно появятся.

Коэффициент \(a\) называют первым или старшим коэффициентом, \(b\) – вторым коэффициентом, \(c\) – свободным членом уравнения.

Левая часть уравнения, то есть выражение \(ax2+bx+c\), является квадратным трехчленом.

Если в квадратном уравнении присутствуют все три его члена, его называют полным. В ином случае уравнение называется неполным

Полное квадратное уравнение \(6×2-x-2=0\) \(x2-4x+3=0\) \(\frac{x2}{2}-3x+1=0\)Неполное квадратное уравнение \(5×2=0\) \(x2-25=0\) \(\frac{1}{2}x2-x=0\)

В данной статье мы рассмотрим вопрос решения полных квадратных уравнений. Про решение неполных – смотрите здесь.

Итак, стандартный алгоритм решения полного квадратного уравнения

  1. Преобразовать уравнение к виду \(ax2+bx+c=0\).

  2. Выписать значения коэффициентов \(a\), \(b\) и \(c\).
    Пока не отработали решение квадратных уравнений до автоматизма, не пропускайте этот этап! Особенно обратите внимание, что знак перед членом берется в коэффициент. То есть, для уравнения \(2×2-3x+5=0\), коэффициент \(b=-3\), а не \(3\).

  3. Вычислить значение дискриминанта по формуле \(D=b2-4ac\).

  4. Вычислить корни уравнения по формулам \(x_1=\frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\)   и   \(x_1=\frac{-b – \sqrt{D}}{2a}\).

Примеры:

Решите квадратное уравнение \(2x(1+x)=3(x+5)\)
Решение:

\(2x(1+x)=3(x+5)\)Равносильными преобразованиями приведем уравнение к виду \(ax2+bx+c=0\). Сначала раскрываем скобки.
\(2x+2×2=3x+15\)Теперь переносим все слагаемые влево, меняя знак…
\(2x+2×2-3x-15=0\)…и приводим подобные слагаемые.
\(2×2-x-15=0\)Уравнение приняло нужный нам вид. Выпишем коэффициенты.
\(a=2\),      \(b=-1\),     \(c=-15\)Найдем дискриминант по формуле \(D=b2-4ac\).
\(D=(-1)2-4·2·(-15) =1+120=121\)Найдем корни уравнения по формулам \(x_1=\frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\) и \(x_2=\frac{-b – \sqrt{D}}{2a}\).
\(x_1=\frac{-(-1) + \sqrt{121}}{2·2}=\frac{1+11}{4}=3\) \(x_2=\frac{-(-1) – \sqrt{121}}{2·2}=\frac{1-11}{4}=-2,5\)Записываем ответ:

Ответ: \(x_1=3\), \(x_2=-2,5\).

Решите квадратное уравнение \(x2+9=6x\)
Решение:

\(x2+9=6x\)Тождественными преобразованиями приведем уравнение к виду \(ax2+bx+c=0\).
\(x2-6x+9=0\)Выпишем коэффициенты.
\(a=1\),      \(b=-6\),   \(c=9\)Найдем дискриминант по формуле \(D=b2-4ac\).
\(D=(-6)2-4·1·9=36-36=0\)Найдем корни уравнения по формулам \(x_1=\frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\) и \(x_1=\frac{-b – \sqrt{D}}{2a}\).
\(x_1=\frac{-(-6) + \sqrt{0}}{2·1}=\frac{6+0}{2}=3\) \(x_2=\frac{-(-6) – \sqrt{0}}{2·1}=\frac{6-0}{2}=3\)В обоих корнях получилось одинаковое значение. Нет смысла писать его в ответ два раза.

Ответ: \(x=3\).

Решите квадратное уравнение \(3×2+x+2=0\)
Решение:

\(3×2+x+2=0\)Уравнение сразу дано в виде \(ax2+bx+c=0\), преобразования не нужны. Выписываем коэффициенты.
\(a=3\),    \(b=1\),   \(c=2\)Найдем дискриминант по формуле \(D=b2-4ac\).
\(D=12-4·3·2=1-24=-23\)Найдем корни уравнения по формулам \(x_1=\frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\) и \(x_1=\frac{-b – \sqrt{D}}{2a}\).
\(x_1=\frac{-1 + \sqrt{-23}}{2·3}\) \(x_2=\frac{-1- \sqrt{-23}}{2·3}\)Оба корня невычислимы, так как арифметический квадратный корень из отрицательного числа не извлекается.

Ответ: нет корней.

Обратите внимание, в первом уравнении у нас два корня, во втором – один, а в третьем – вообще нет корней. Это связано со знаком дискриминанта (подробнее смотри тут).

Также многие квадратные уравнения могут быть решены с помощью обратной теоремы Виета. Это быстрее, но требует определенного навыка.

Пример. Решить уравнение \(x2-7x+6=0\).
Решение: Согласно обратной теореме Виета, корнями уравнения будут такие числа, которые в произведении дадут \(6\), а в сумме \(7\). Простым подбором получаем, что эти числа: \(1\) и \(6\). Это и есть наши корни (можете проверить решением через дискриминант).
Ответ: \(x_1=1\), \(x_2=6\).

Данную теорему удобно использовать с приведенными квадратными уравнениями, имеющими целые коэффициенты \(b\) и \(c\).

Смотрите также:
Квадратные уравнения (шпаргалка)

Скачать статью

Источник: http://cos-cos.ru/math/121/

Открытый урок в 8 классе по теме «Квадратные уравнения»

Урок по алгебре для 8 класс а Решение квадратных уравнений

Рахметова Адия Мураткановна,учитель математики КГУ «Зубовская средняя школа»поселок Зубовск, Зыряновский район, ВКО

Эпиграф к уроку: «Предмет математики настолько серьезен, что полезно не упускать случая делать его немного занимательным».

Паскаль

Цели:

  1. Показать уровень усвоения программного материала по теме «Квадратные уравнения», навыки
  2. решения квадратных уравнений с помощью применения формул корней квадратных
  3. уравнений, изучить новый способ решения квадратных уравнений.
  4. Развитие вычислительных навыков: навыков решения квадратных уравнений с помощью
  5. формул, навыки нахождения дискриминанта квадратного уравнения, развитие логического
  6. мышления,
  7. Способствовать рациональной организации труда, внимательность, активное участие в учебно-
  8. познавательном процессе, самостоятельность, самокритичность.

Оборудование к уроку: тест «Квадратные уравнения», интерактивная доска, таблицы, карточки.

План урока

  1. Организационный момент «Настроимся на урок!»
  2. Проверка домашнего задания
  3. Тест «Квадратные уравнения».
  4. Работа в парах: математика и биология.
  5. Немного истории.
  6. Продвинутые способы решения квадратных уравнений
  7. Викторина «Дальше, дальше…»
  8. Итог.

1. Организационный момент «Настроимся на урок!»

Здравствуйте, ребята и гости нашего урока! Математику не зря называют «царицей наук», ей больше, чем какой-либо другой науке, свойственны красота, изящность и точность. Одно из замечательных качеств математики — любознательность. Постараемся доказать это на уроке. Мы с вами начали изучать
новый большой раздел «Квадратные уравнения», на который отводится 20 уроков.

Сегодня четвертый урок из этой главы, однако, вы уже умеете решать квадратные уравнения. Знания не только надо иметь, но и надо уметь их показать, что вы и сделаете на сегодняшнем уроке, а я вам в этом помогу.

Эпиграфом к уроку я взяла слова великого математика Паскаля «Предмет математики настолько серьезен, что полезно не упускать случая делать его немного занимательным». В течение урока мы еще вернемся к этим словам.

2. Проверка домашнего задания

Начнем урок с проверки домашнего задания.

Правильность решения заданий вы не сможете проверить, т. к. на предыдущем уроке каждый получил индивидуальное задание в зависимости от способностей и возможностей.

А вот знание теоретического материала, который понадобится нам на протяжении всего урока, давайте вспомним.

Какой вид имеет квадратное уравнение?

Какие уравнения вы знаете? (полные и неполные)

Сколько решений имеет полное квадратное уравнение? От чего это зависит?

3. Тест «Квадратные уравнения»

Итак, мы повторили, как можно решить квадратное уравнение. Сейчас я хотела бы проверить, как вы усвоили эти формулы и определения.

Ученики получают карточки с заданиями. Заполняют пропущенные слова в карточках.

I вариант

  1. Уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где a, b, c — заданные числа, a ≠ 0, x — переменная, называется…
  2. Полное квадратное уравнение не имеет корней, если D…
  3. Уравнение вида x2 + px + q = 0 называется…
  4. Квадратное уравнение имеет два корня, если b2 – 4ac…
  5. Дано уравнение 3×2 – 7x + 4 = 0. D =…

II вариант

  1. Если квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0, то a… коэффициент, c…
  2. Уравнение x2 = a, где a
  3. Полное квадратное уравнение имеет единственный корень, если…
  4. Уравнение вида ax2 + c = 0, где a ≠ 0, c ≠ 0, называют… квадратным уравнением.
  5. Дано уравнение x2 – 6x + 8 = 0. D =…

Проводится взаимопроверка. Ответы показываем через интерактивную доску.

4. Работа в парах

Вернемся к эпиграфу нашего урока. Попытаемся сделать математику хотя бы сегодня на уроке немного более занимательной.

Вам необходимо угадать, что же находится в черном ящике.

Математика и биология

Учитель: Угадайте, что в ящике. Даю три определения этому предмету:

  1. Непроизводная основа слова.
  2. Число, которое после постановки его в уравнение обращает уравнение в тождество.
  3. Один из основных органов растений.

/Корень/

Учитель: Вы должны определить, какого растения это корень, решив следующие уравнения в парах.

  1. x2 – 8x + 15 = 0
  2. x2 – 11x + 18 = 0
  3. x2 – 5x – 6 = 0
  4. x2 – 4x + 4 = 0
  5. 3×2 + 4x + 20 = 0
  6. 5×2 – 3x – 2 = 0

Учитель: Игра «Математическое лото». Найдите полученный ответ на экране. Проверить результат. Если ученики получают правильный ответ, то получат изображение розы, иначе — слайд с текстом «Проверьте решение».

Учитель: Что это за растение?

Ответ: Роза.

Учитель: Значит, в черном ящике лежал корень розы, о которой в народе говорят: «Цветы ангельские, а когти дьявольские». О розе существует интересная легенда: по словам Анакреона, родилась роза из белоснежной пены, покрывающей тело Афродиты, когда богиня любви выходила из моря. Поначалу роза была белой, но от капельки крови богини, уколовшейся о шип, стала алой.

Учитель: Видите, ребята, все в этом мире взаимосвязано: математика, русский язык и литература, биология. Мы увидели, что слово «корень» встречается на уроках биологии и математики. И не только.

5. Немного истории

По словам математика Лейбница, «кто хочет ограничиться настоящим без знания прошлого, тот никогда его не поймет».

Ученик заранее готовит сообщение об истории квадратных уравнений, с презентацией.

6. Продвинутые способы решения квадратных уравнений

Квадратные уравнения — это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Они находят широкое применение при решении различных тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных, трансцендентных уравнений и неравенств, большого количества разных типов задач.

В школьном курсе математики подробно изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать многие уравнения. В математической науке есть десять способов решения квадратных уравнений.

Способы решения квадратных уравнений, изучаемые в школе:

  • Разложение левой части на множители
  • Метод выделения полного квадрата
  • С применением формул корней квадратного уравнения
  • С применением теоремы Виета
  • Графический способ

Продвинутые способы решения квадратных уравнений:

  • Способ переброски
  • По свойству коэффициентов
  • С помощью циркуля и линейки
  • С помощью номограммы
  • Геометрический

Сегодня на уроке мы познакомимся с новым способом решения квадратных уравнений, который не изучается в школе. Но он очень интересный и вовсе не сложный.

Решение квадратных уравнений по свойству коэффициентов

Пусть дано квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0, где, а ≠ 0.

Свойство 1

Если, а + b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то х1 = 1, х2 = с/а

Свойство 2

Если а – b + с = 0, или b = а + с, то х1 = – 1, х2 = – с/а

Пример:

2×2 – 5x + 3 = 0 br>
3×2 + 4x +1 = 0

Решите самостоятельно:

1 вариант:5×2 – 12x + 7 = 07×2 + 3x -4 = 02 вариант:3×2 – 7x + 4 = 04×2 + 7x + 3 = 0

7. Викторина. «Дальше, дальше…»

В течение одной минуты ребята отвечают на вопросы, приведенные ниже:

  1. Уравнение второй степени.
  2. Сколько корней имеет квадратное уравнение, если D больше 0?
  3. Равенство с переменной?
  4. От чего зависит количество корней квадратного уравнения?
  5. Как называется квадратное уравнение, у которого первый коэффициент — 1?
  6. Сколько корней имеет квадратное уравнение, если дискриминант меньше 0?
  7. Что значит решить уравнение?
  8. Есть у любого слова, у растения и может быть у уравнения?

7. Итог урока

Учитель:

Что нового мы узнали на уроке?

Какое уравнение называется квадратным?

Какие виды квадратных уравнений вы знаете?

И закончить сегодняшний урок хотелось бы словами великого математика У. Сойера: «Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решить три-четыре различные задачи. Решая одну задачу различными методами, можно путем сравнений выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт»

Оценивание учащихся. Сообщение домашнего задания.

Открыть презентациюСкачать презентацию

Источник: https://www.azbyka.kz/otkrytyy-urok-v-8-klasse-po-teme-kvadratnye-uravneniya

Решение квадратных уравнений. 8 класс. Разработка урока

Урок по алгебре для 8 класс а Решение квадратных уравнений

УМК «Математика. 8 класс» Г. К. Муравина и др.

Тип урока: закрепление знаний, умений и навыков, первичный контроль.

Цели:

для учителя:

  • помочь учащимся закрепить навыки решения квадратных уравнений, выявить «пробелы в знаниях»
  • воспитывать познавательную активность учащихся
  • развивать умение анализировать, сравнивать, логически мыслить

для учащихся:

  • ЗНАТЬ: классификацию квадратных уравнений; рациональные способы решения квадратных уравнений
  • УМЕТЬ  решать различные виды квадратных уравнений рациональными способами.

План урока:

  1. Организационный момент.
  2. Актуализация знаний
  3. Первичный контроль
  4. Рефлексия.
  5. Домашнее задание.

Оборудование и материалы: мультимедиа проектор, презентация, обучающие карточки, карточки лото, тесты, карточки для составления схемы, таблицы для промежуточного контроля.

Литература.

  • Учебник. Алгебра – 8.авт. Муравин Г.К. и др., «Дрофа», М., 2011 г.
  • Рабочая тетрадь, часть 2 ,авт. Муравин Г.К. и др.
  • Методические рекомендации, авт. Муравин Г.К. и др.

I. Организационный момент

Учитель сообщает тему (слайд 1) и цели урока, зачитывает высказывание  на слайде презентации (слайд 2).

II. Актуализация знаний. Первичный контроль

1) Немного из истории (слайд 3, 4.)

2) Определение квадратного уравнения, алгоритм решения квадратного уравнения (слайд 5).

3) Франсуа Виет (слайд 6).

4) Теорема Виета (слайд 7).

5) Угадываем корни (слайд 8).

6)Работа в группах: задание – собрать из карточек схему:

Квадратные  уравнения.

ах2 + вх + с = 0, а ≠ 0

ПОЛНЫЕ

ах2 + вх + с = 0, а = 1

НЕПОЛНЫЕ

ах2 + вх = 0

ПРИВЕДЕННЫЕ

ах2 + с = 0

Учитель проверяет работу группы.

7) Задание  №201 из «Рабочей тетради» (заполните пропуски в предложениях, выбрав слова из списка).  ВЗАИМОПРОВЕРКА.

Обсуждение результата в группе.

8) Учащимся в группе под руководством заранее выбранного учителем ученика-консультанта предлагается пакет заданий на группу. Учащиеся сами выбирают задания.

Пакет состоит из 2 видов заданий:

  1. Задания для индивидуальной работы (проверяются учителем) – 4 вида заданий
  2. Математическое лото (групповая работа) -поставить в соответствие уравнение и его корни.

2. Задания для групповой работы: собрать «Математическое лото»

Х1 = 1

Х2 = 0,5

х2 + 7х – 8 = 0

Х1 = 1

Х2 = 4

х2 – 12х + 11 = 0

Х1 = 1

Х2 = –4

х2 – 5х + 4 = 0

Х1 = 1

Х2 = –8

5х2 – 8х + 3 = 0

Х1 = 1

Х2 = 11       

х2 + 3х – 4 = 0

Х1 = 1

Х2 = 0,6       

2х2 – 3х + 1 = 0

Будьте внимательны, применяйте рациональные способы решения!

Ответы открываются на доске.

9) Выведение нового свойства квадратного уравнения.

Учитель: На доске у меня записано несколько квадратных уравнений.

1) х2 + х – 2 = 0 

2) 2х2 + 3х – 5 = 0 

3) 6х2 – 7х + 1 = 0 

4) 5х2 – 8х + 3 = 0  

5) 2х2 – 5х + 3 = 0

6) 5х2 – 3х – 2 = 0

Учитель: Я могу любое из них решить устно (ученики называют номер уравнения, учитель – его корни).

– Может кто-то из вас решить уравнение устно?

– Какую  закономерность вы увидели?

Если учащиеся затрудняются в ответах, можно задать наводящие вопросы:

  • чему равна сумма корней в каждом уравнении?
  • общий корень всех этих уравнений?
  • как вычислить второй корень?

Открыть на доске еще одно свойство квадратных уравнений:

Если в квадратном уравнении а + в + с = 0, то х1 = 1, х2 = с/а.

Задание учащимся – придумать и решить квадратное уравнение с использованием этого свойства.

Проверка в группе.

III. Рефлексия

Вопросы учителя:

  • оцените вашу работу на уроке (учащиеся выставляют оценки в специальную таблицу); обсуждение оценок.
  • насколько хорошо вы усвоили данную тему?
  • какие задания вызвали затруднения?
  • какие навыки отработаны недостаточно хорошо?

IV. Домашнее задание

1) №345 (Решить наиболее рациональным способом)

2) Приготовить сообщение на 1 тетрадную страницу «Из истории квадратных уравнений».

Спасибо за урок! (слайд 9).

Источник: https://rosuchebnik.ru/material/reshenie-kvadratnyh-uravneniy-8-klass-razrabotka-uroka/

Ваш педагог
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: