Примеры решения задач
Задача1.Вычислитьдефект массы и энергию связи ядра .
Дано: Решение
Дефектмассы ядра равен
А= 11 т= Zmp+ (A– Z)mn– Mядра. (1)
Z= 5 Выразим массу ядрачерез массу атома и массу всех
N= A– Z= 6 электронов:
а.е.м. Мат= Мяд+ Zme;
тп= 1,00867 а.е.м. Мяд=Мат– Zme; (тр+ те)= .
тв= 11,00930 а.е.м. Тогда
т– ? Е– ? ;
. (2)
Формула(2) является расчетной формулой дефектамассы. По формуле (1) определить дефектмассы нельзя, так как в существующихтаблицах даны не массы ядер, а массынейтральных атомов (см. табл. 1 приложения).
После подстановкичисленных значений, получим:
т= 5 .1,00783+ 6 .1,00867– 11,00930 = 0,08186 а.е.м.
Энергия связи
Е= тс2,
или Е=0,08186 .931,5= 76 МэВ.
Ответ:т= 0,08186 а.е.м.; Е= 76 МэВ.
Задача2.Определить энергию, необходимую дляотделения одного нейтрона от ядра .
Дано:Решение
Энергияотделения от ядра одного нейтрона
а.е.м численно равна энергии связи нейтронас
а.е.м. ядром.
а.е.м Еп= тс2;
Еп– ? т= тп+ ,
Подставим численные значения масс,взятые из табл. 1 приложения:
т= 1,00867 + 21,99440 – 22,98977 = 0,01334 а.е.м.;
Еп= т.с2= 931,5 . 0,01334 = 12,4 МэВ.
Ответ:Еп= 12,4 МэВ.
Задача3.Какую наименьшую энергию нужно затратить,чтобы отделить один протон от ядра ?
Дано: Решение
Врезультате отделения одного протона от ядра
а.е.м. получается новое ядрои протон.
тр= 1,00728 а.е.м. Изменение массы
а.е.м.
Ер– ? Энергия связи протонав ядре
.
Подставим числовые значения
МэВ.
Ответ:Ер= 7,04 МэВ.
Задача4.Определить удельную энергию связи ядра.
Дано: Решение
МU= 238,05076 а.е.м. Удельной энергией связиназывается средняя
А = 238 энергия связи, приходящаясяна один нуклон в ядре,
Z = 92 т. е. ;
A– Z=146 .
-?
или
Ответ:
Задача5.Какую наименьшую энергию нужно затратить,чтобы разделить ядро надве одинаковые части.
Дано: Решение
Врезультате деления ядра на две одинаковые
а.е.м. части получается два ядра дейтерия .Сумма масс
а.е.м. образовавшихся ядер больше массы ядра:
Е– ?
;
МэВ.
Ответ:Е= 23,85 МэВ.
Задача6.Сколько энергии выделится при образовании1 г из протонов и нейтронов?
Дано: Решение
М = 4,00260 а.е.м. При образовании одногоядра из протонов и
а.е.м. нейтронов выделится энергия, равнаячисленно
тп = 1,00867 а.е.м. энергии связи ядра .
Q– ? Определим энергиюсвязи ядра:
;
МэВ.
В1 г содержитсяNатомов (ядер):
,
где– молярная масса :4 .10-3кг/моль;NA– число Авогадро.
Тогдаполная энергия Q,выделившаяся при образовании 1 г гелия,равна
МэВ;
1МэВ = 1,6 .10-13Дж.
Q= 26 .1010Дж.
Ответ:При синтезе 1 г выделяется энергия
Q= 42 .1023МэВ=26Дж.
Задача7.Энергия связи ядра равна 139,8 МэВ; ядраМэВ. Определить минимальную энергию,необходимую для отделения одного протонаот ядра.
Дано:Решение
Е1= 139,8 МэВ Схема отделения протона
Е2= 147,8 МэВ
А1= 18 Энергия связи протона вядре :
А2= 19 (1)
Z1= 8 Энергия связи ядра :;
Z2= 9 Энергия связи ядра :;
N1= N2= 10 Вычтем Е1из формулы . Получим
Ер– ?
. (2)
Сравнимвыражение (2) с выражением (1): .
Вычисляя,получим: Ер= 147,8 – 139,8 = 8 МэВ.
Ответ:Ер= 8 МэВ.
Задача8.Какую наименьшую энергию нужно затратить,чтобы разделить на отдельные нуклоныизобарные ядра и?
Дано:Решение
Е1= 931,5 .(3 .1,00783+ 4 .1,00867– 7,01601) =
А= 7 А= 7 = 931,5 . 0,4216= 39,2 МэВ;
Z= 3 Z= 4 Е2= 931,5 .(4 .1,00783+ 3 .1,00867– 7,01693) =
N= 4 N= 3 = 931,5 . 0,04040= 37,6 МэВ.
а.е.м.
а.е.м.
Е1- ? Е2- ?
Ответ:ЕLi= 39,2 МэВ; ЕВе= 37,6 МэВ.
Задача9.Найти энергию связи ядер и.Какое из этих ядер наиболее устойчиво?
Дано: Решение
МэВ=
=(1,00783 + 2 .1,00867–
Е1- ? – 3,01605) . 931,5МэВ = 8,5 МэВ;
Е2- ? Е2= (1,00783 .2+ 1,00867 – 3,01603) .931,5МэВ =
=6,8 МэВ;
Обаядра содержат одинаковое количествонуклонов, но ядро более устойчиво, чем ядро,так как в состав(в отличие от)входит 2 протона, между которыми существуютсилы кулоновского отталкивания, что уменьшает энергию связи ядра.
Задача10.Используя формулу Вайцзеккера, определитьмассу ядра тяжелого водорода .
Дано:Решение
тр= 1,00728 а.е.м. Энергия связи ядра
тп= 1,00867 а.е.м. .
=15,75 МэВ Найдем массу ядра
=17,8 МэВ .
=0,71МэВ Запишем полуэмпирическуюформулу Вайцзеккера,
=94,8 МэВ позволяющую определитьэнергию связи ядра:
=34 МэВ
тя– ?
,
где А– массовое число; Z– зарядовое число; ,,,,– поправочные коэффициенты, с помощьюкоторых учитываются силы кулоновскогоотталкивания протонов, энергияповерхностного натяжения ядра-капли,соотношение между числом протонов инейтронов в ядре, четность или нечетностьядер. Масса ядра с учетом формулыВайцзеккера для тяжелого водорода:
.
Ядро нечетно-нечетное.
.
Ответ:а.е.м.
Источник: https://studfile.net/preview/5288144/page:4/
Энергия связи. Дефект масс
Вспомним основные положения электростатики, одно из которых гласит, что одноименные заряды отталкиваются. Как мы знаем, в состав любого элемента входят незаряженные нейтроны и положительно заряженные протоны (см. рис. 1), которые на крайне близких расстояниях испытывают большие силы отталкивания.
Рис. 1. Состав любого элемента
Соответственно, чтобы ядра элементов сохраняли свою целостность, необходимы какие-то силы, которые бы подавляли электрическое отталкивание протонов, такие силы принято называть ядерными (см. рис. 2).
Рис. 2. Направление ядерных сил
Стоит отметить, что эти силы на сегодняшний день являются самыми мощными из всех, которые мы знаем. Видимо, это является одной из причин, по которой воздействие данных сил, принято называть сильным взаимодействием.
Энергия связи ядра
Чем же в таком случае можно охарактеризовать прочность ядра какого-либо химического элемента? Как известно, прочность любого соединения удобно оценивать исходя из того, какую работу нужно приложить, чтобы его разрушить. Когда вводили понятие «энергия связи», как раз и пользовались аналогичным принципом.
Энергия связи ядра определяется величиной той работы, которую необходимо совершить для расщепления ядра на составляющие его нуклоны. Многочисленные эксперименты, проведенные с массами ядер элементов и с массами нуклонов, показывают очень любопытный результат.
Выясняется, что масса ядра и сумма масс нуклонов, которые в него входят, оказывается различной. Причем масса ядра всегда меньше суммы масс нуклонов. Изначально этот результат поражает, потому что если купить два яблока массами по 200 грамм каждое и положить в один пакет, то масса их станет 400 грамм, а не, например, 380 грамм.
Что же происходит с ядрами химических элементов?
На самом деле никаких противоречий логике в нашем случае нет. К нам на помощь приходит специальная теория относительности, которая была в свое время разработана выдающимся ученым Альбертом Эйнштейном.
Одно из основных положений данной теории гласило, что между энергией и массой вещества существует определенная взаимосвязь. Причем как масса может переходить в энергию, так и наоборот. В нашем случае мы и можем наблюдать переход части масс нуклонов в энергию связи ядра.
Формула соотношения между массою покоя тела и его энергией покоя выглядит так: , где – скорость света в вакууме. На сегодняшний день это одна из самых известных формул в физике даже для тех, кто ею не особо интересуется.
Из данной формулы легко получить взаимосвязь изменения энергии, то есть работы, которую необходимо для этого совершить, и изменения массы тела.
Эта формула описывает энергию связи ядра, под понимают разницу между суммарной массой нуклонов и массой ядра элемента – её принято называть дефектоммасс ядра: , где Z – количество протонов в ядре; N – количество нейтронов; – масса покоя протона а.е.м. или ; – масса покоя нейтрона ( а.е.м. или ; – масса ядра; .
{GENERICO:type=adsshortcode}
Вычисление связи ядра
Вычислим энергию связи ядра на примере следующей задачи.
Задача
Найдите энергию связи ядра лития , если его масса равна 6,01513 а.е.м.
Решение
Для начала запишем известные величины.
Найти нужно энергию связи ядра .
Запишем формулу для вычисления энергии связи: .
Также нам нужна формула для дефекта масс: .
Количество протонов в ядре равно порядкового номеру лития, который указан в нижней линии его записи, то есть .Количество нейтронов находим по формуле , где – нуклонное число (верхний индекс записи), тогда .
Теперь вычислим дефект масс и переведем его в кг:
Для подсчета ответа в таких задачах нужна точность. Теперь подставим это значение в формулу для энергии связи ядра:
Ответ:
Стоит отметить, что единственным исключением из выше указанных фактов является ядро атома водорода с одним протоном, то есть так называемый протий. Его энергия связи и дефект массы ядра равны 0, так как единственному протону нет необходимости преодолевать силы кулоновского отталкивания в ядре.
Вычисление энергии связи в МэВ
Поскольку энергии микромира крайне малы по сравнению с энергиями, которые мы используем в повседневной жизни, использовать для них системную единицу [Дж] крайне неудобно. Специально для этого была введена такая величина, как электронвольт.
Один электронвольт равен работе, которую должно совершить поле при перемещении элементарного заряда между разностью потенциалов 1 В. Величина 1 электронвольта равна значению элементарного заряда в джоулях: .
Значение энергии связи таковы, что для их вычисления удобно использовать именно миллионы электронвольт, то есть мегаэлектронвольты.
Кроме того, использовать измерение масс микрочастиц в кг неудобно из-за их крайней малости, поэтому мы будем пользоваться а.е.м.
Исходя из этого существует формула расчета энергии связи, где мы получаем результат сразу в МэВ, а все массы подставляем в а.е.м.
Для начала мы пишем стандартную формулу энергии связи ядра, которая равна:
После этого мы запланировали переводить результат в эВ, для этого нам необходимо разделить полученное выражение на заряд электрона, то есть .
Так как мы запланировали указать результат в МэВ, то нужно выделить степень :
Таким образом, энергию связи можно представить в следующем виде:
Чтобы можно было более подробно оценить значение энергии связи ядра, приведем следующий пример: оказывается, что для образования всего лишь 4 грамм гелия потребуется энергия эквивалентная сгоранию полутора-двух вагонов каменного угля.
Отметим следующий факт: чем больше протонов находится в ядре, тем больше их кулоновское отталкивание. Соответственно, для стабилизации тяжелых ядер элементов необходимо большое количество нейтронов, чтобы они самопроизвольно не распадались.
Оказывается, что последним стабильным ядром с максимальным количеством протонов является свинец.
Для характеристики прочности ядер удобна такая величина, как удельная энергия связи, которая показывает, какая энергия приходится на один нуклон: , где A – нуклонное число.
Исходя из значений удельной энергии связи, можно делать выводы о склонности одних элементов обладать свойствами радиоактивности, а других – нет. Что же касается энергии связи ядра, то она позволяет характеризовать энергию, которая выделяется в процессе радиоактивного распада.
Итак, мы выяснили, что же препятствует кулоновскому отталкиванию протонов в ядрах элемента, а также ввели такие понятия, как энергия связи и дефект масс ядра.
Источник: https://100ballov.kz/mod/page/view.php?id=2626
Энергия связи ядра
Автор — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев.
Темы кодификатора ЕГЭ: энергия связи нуклонов в ядре, ядерные силы.
Атомное ядро, согласно нуклонной модели, состоит из нуклонов – протонов и нейтронов. Но какие силы удерживают нуклоны внутри ядра?
За счёт чего, например, держатся вместе два протона и два нейтрона внутри ядра атома гелия? Ведь протоны, отталкиваясь друг от друга электрическими силами, должны были бы разлететься в разные стороны! Может быть, это гравитационное притяжение нуклонов друг к другу не даёт ядру распасться?
Давайте проверим. Пусть два протона находятся на некотором расстоянии друг от друга. Найдём отношение силы их электрического отталкивания к силе их гравитационного притяжения:
Заряд протона Кл, масса протона кг, поэтому имеем:
Какое чудовищное превосходство электрической силы! Гравитационное притяжение протонов не то что не обеспечивает устойчивость ядра – оно вообще не заметно на фоне их взаимного электрического отталкивания.
Следовательно, существуют иные силы притяжения, которые скрепляют нуклоны внутри ядра и превосходят по величине силу электрического отталкивания протонов. Это – так называемые ядерные силы.
Ядерные силы
До сих пор мы знали два типа взаимодействий в природе – гравитационные и электромагнитные. Ядерные силы служат проявлением нового, третьего по счёту типа взаимодействий – сильного взаимодействия. Мы не будем вдаваться в механизм возникновения ядерных сил, а лишь перечислим их наиболее важные свойства.
1. Ядерные силы действуют между любыми двумя нуклонами: протоном и протоном, протоном и нейтроном, нейтроном и нейтроном.2. Ядерные силы притяжения протонов внутри ядра примерно в 100 раз превосходят силу электрического отталкивания протонов. Более мощных сил, чем ядерные, в природе не наблюдается.
3.
Ядерные силы притяжения являются короткодействующими: радиус их действия составляет около м. Это и есть размер ядра – именно на таком расстоянии друг от друга нуклоны удерживаются ядерными силами.
При увеличении расстояния ядерные силы очень быстро убывают; если расстояние между нуклонами станет равным м, ядерные силы почти полностью исчезнут.
На расстояниях, меньших м, ядерные силы становятся силами отталкивания.
Сильное взаимодействие относится к числу фундаментальных – его нельзя объяснить на основе каких-то других типов взаимодействий.
Способность к сильным взаимодействиям оказалась свойственной не только протонам и нейтронам, но и некоторым другим элементарным частицам; все такие частицы получили название адронов.
Электроны и фотоны к адронам не относятся – они в сильных взаимодействиях не участвуют.
Атомная единица массы
Массы атомов и элементарных частиц чрезвычайно малы, и измерять их в килограммах неудобно. Поэтому в атомной и ядерной физике часто применяется куда более мелкая единица – так
называемая атомная единица массы (сокращённо а. е. м.).
По определению, атомная единица массы есть 1/12 массы атома углерода . Вот её значение с точностью до пяти знаков после запятой в стандартной записи:
а. е. м.кг г.
(Такая точность нам впоследствии понадобится для вычисления одной очень важной величины, постоянно применяющейся в расчётах энергии ядер и ядерных реакций.)
Оказывается, что 1 а. е. м., выраженная в граммах, численно равна величине, обратной к постоянной Авогадро моль:
моль.
Почему так получается? Вспомним, что число Авогадро есть число атомов в 12г углерода. Кроме того, масса атома углерода равна 12 а. е. м. Отсюда имеем:
г а. е. м.,
поэтому а. е. м.=г, что и требовалось.
Как вы помните, любое тело массы m обладает энергией покоя E, которая выражается формулой Эйнштейна:
. (1)
Выясним, какая энергия заключена в одной атомной единице массы. Нам надо будет провести вычисления с достаточно высокой точностью, поэтому берём скорость света с пятью знаками после запятой:
м/с.
Итак, для массы а. е. м. имеем соответствующую энергию покоя :
Дж. (2)
В случае малых частиц пользоваться джоулями неудобно – по той же причине, что и килограммами. Существует гораздо более мелкая единица измерения энергии – электронвольт (сокращённо эВ).
По определению, 1 эВ есть энергия, приобретаемая электроном при прохождении ускоряющей разности потенциалов 1 вольт:
эВ КлВ Дж. (3)
(вы помните, что в задачах достаточно использовать величину элементарного заряда в виде Кл, но здесь нам нужны более точные вычисления).
И вот теперь, наконец, мы готовы вычислить обещанную выше очень важную величину – энергетический эквивалент атомной единицы массы, выраженный в МэВ. Из (2) и (3) получаем:
эВ . (4)
Итак, запоминаем: энергия покоя одной а. е. м. равна 931,5 МэВ. Этот факт вам неоднократно встретится при решении задач.
В дальнейшем нам понадобятся массы и энергии покоя протона, нейтрона и электрона. Приведём их с точностью, достаточной для решения задач.
а. е. м., МэВ;
а. е. м., МэВ;
а. е. м., МэВ.
Дефект массы и энергия связи
Мы привыкли, что масса тела равна сумме масс частей, из которых оно состоит. В ядерной физике от этой простой мысли приходится отвыкать.
Давайте начнём с примера и возьмём хорошо знакомую нам -частицу ядро . В таблице (например, в задачнике Рымкевича) имеется значение массы нейтрального атома гелия: она равна 4,00260 а. е. м. Для нахождения массы M ядра гелия нужно из массы нейтрального атома вычесть массу двух электронов, находящихся в атоме:
а. е. м.
В то же время, суммарная масса двух протонов и двух нейтронов, из которых состоит ядро гелия, равна:
а. е. м.
Мы видим, что сумма масс нуклонов, составляющих ядро, превышает массу ядра на
а. е. м.
Величина называется дефектом массы. В силу формулы Эйнштейна (1) дефекту массы отвечает изменение энергии:
МэВ:
Величина обозначается также и называется энергией связи ядра . Таким образом, энергия связи -частицы составляет приблизительно 28 МэВ.
Каков же физический смысл энергии связи (и, стало быть, дефекта масс)?
Чтобы расщепить ядро на составляющие его протоны и нейтроны, нужно совершить работу против действия ядерных сил. Эта работа не меньше определённой величины ; минимальная работа по разрушению ядра совершается в случае, когда высвободившиеся протоны и нейтроны покоятся.
https://www.youtube.com/watch?v=L1PrQgJxp44
Ну а если над системой совершается работа, то энергия системы возрастает на величину совершённой работы. Поэтому суммарная энергия покоя нуклонов, составляющих ядро и взятых по отдельности, оказывается больше энергии покоя ядра на величину .
Следовательно, и суммарная масса нуклонов, из которых состоит ядро, будет больше массы самого ядра. Вот почему возникает дефект массы.
В нашем примере с -частицей суммарная энергия покоя двух протонов и двух нейтронов больше энергии покоя ядра гелия на 28 МэВ. Это значит, что для расщепления ядра на составляющие его нуклоны нужно совершить работу, равную как минимум 28 МэВ. Эту величину мы и назвали энергией связи ядра.
Итак, энергия связи ядра – это минимальная работа, которую необходимо совершить для расщепления ядра на составляющие его нуклоны.
Энергия связи ядра есть разность энергий покоя нуклонов ядра, взятых по отдельности, и энергии покоя самого ядра. Если ядро массы состоит из протонов и нейтронов, то для энергии связи имеем:
.
Величина , как мы уже знаем, называется дефектом массы.
Удельная энергия связи
Важной характеристикой прочности ядра является его удельная энергия связи, равная отношению энергии связи к числу нуклонов:
.
Удельная энергия связи есть энергия связи, приходящаяся на один нуклон, и имеет смысл средней работы, которую необходимо совершить для удаления нуклона из ядра.
На рис. 1 представлена зависимость удельной энергии связи естественных (то есть встречающихся в природе 1) изотопов химических элементов от массового числа A.
Рис. 1. Удельная энергия связи естественных изотопов
Элементы с массовыми числами 210–231, 233, 236, 237 в естественных условиях не встречаются. Этим объясняются пробелы в конце графика.
У лёгких элементов удельная энергия связи возрастает с ростом , достигая максимального значения 8,8 МэВ/нуклон в окрестности железа (то есть в диапазоне изменения примерно от 50 до 65). Затем она плавно убывает до величины 7,6 МэВ/нуклон у урана .
Такой характер зависимости удельной энергии связи от числа нуклонов объясняется совместным действием двух разнонаправленных факторов.
Первый фактор – поверхностные эффекты. Если нуклонов в ядре мало, то значительная их часть находится на поверхности ядра.
Эти поверхностные нуклоны окружены меньшим числом соседей, чем внутренние нуклоны, и, соответственно, взаимодействуют с меньшим числом соседних нуклонов.
При увеличении доля внутренних нуклонов растёт, а доля поверхностных нуклонов – падает; поэтому работа, которую нужно совершить для удаления одного нуклона из ядра, в среднем должна увеличиваться с ростом .
Однако с возрастанием числа нуклонов начинает проявляться второй фактор – кулоновское отталкивание протонов. Ведь чем больше протонов в ядре, тем большие электрические силы отталкивания стремятся разорвать ядро; иными словами, тем сильнее каждый протон отталкивается от остальных протонов. Поэтому работа, необходимая для удаления нуклона из ядра, в среднем должна уменьшаться с ростом .
Пока нуклонов мало, первый фактор доминирует над вторым, и потому удельная энергия связи возрастает.
В окрестности железа действия обоих факторов сравниваются друг с другом, в результате чего удельная энергия связи выходит на максимум. Это область наиболее устойчивых, прочных ядер.
Затем второй фактор начинает перевешивать, и под действием всё возрастающих сил кулоновского отталкивания, распирающих ядро, удельная энергия связи убывает.
Насыщение ядерных сил
Тот факт, что второй фактор доминирует у тяжёлых ядер, говорит об одной интересной особенности ядерных сил: они обладают свойством насыщения. Это означает, что каждый нуклон в большом ядре связан ядерными силами не со всеми остальными нуклонами, а лишь с небольшим числом своих соседей, и число это не зависит от размеров ядра.
Действительно, если бы такого насыщения не было, удельная энергия связи продолжала бы возрастать с увеличением – ведь тогда каждый нуклон скреплялся бы ядерными силами со всё большим числом нуклонов ядра, так что первый фактор неизменно доминировал бы над вторым. У кулоновских сил отталкивания не было бы никаких шансов переломить ситуацию в свою пользу!
Источник: https://ege-study.ru/ru/ege/materialy/fizika/energiya-svyazi-yadra/
